Уравнения

Характеристического Частные решения уравнения

Характер корня

Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано однородное уравнение второго порядка

, (1)

где и - постоянные числа.

Согласно свойству (4) для определения общего решения уравнения надо найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде

, где.

Тогда.

Подставим полученные выражения в данное уравнение

,

откуда, т.к., (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Решение уравнения (2) имеет вид:

Возможны следующие случаи:

1. и - действительные и притом не равные между собой;

2. и - действительные и притом равные между собой;

3. и - комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1.

В этом случае, причём т.к., следовательно, общее решение по свойству (4) имеет вид

2.

Одно частное решение можно искать в виде, но второе уже искать в таком же виде нельзя, т.к. они окажутся линейно зависимыми. Второе частное решение будем искать в виде, где. Тогда и

. Подставим значения в уравнение (1):

.

Т.к. корень характеристического уравнения, то, кроме того, т.к. корни равны между собой. Следовательно,, откуда. Решая последнее уравнение получим. Полагая получим. Следовательно, второе частное решение можно искать в виде. Заметим, что. По свойству (4) имеем, т.е.

3.

В этом случае.. Следовательно,

.

Обозначим и, тогда по свойству (4) общее решение:

Рассмотрим линейное однородное уравнение го порядка:

Для этого уравнения справедлива следующая теорема:

Если функции являются линейно независимыми решениями данного уравнения, то его общее решение суть

где произвольные постоянные.

Если коэффициенты данного уравнения постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка:

1. Составляем характеристическое уравнение

2. Находим корни характеристического уравнения

3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:

3.1 каждому действительному однократному корню соответствует частное решение

3.2 каждой паре комплексных сопряжённых однократных корней соответствуют два частных решения и

3.3 каждому действительному корню кратности соответствует линейно независимых частных решений

3.4 каждой паре комплексных сопряжённых корней кратности соответствуют частных решений

4. Найдя линейно независимых частных решений, строим общее решение данного линейного уравнения

Описанные выше шаги можно объединить в таблицу:

1.простой

вещественный

корень

2. вещественный

корень

кратности

3. простые

комплексные

сопряжённые корни

4. комплексные

сопряжённые корни

кратности

Дата добавления: 2014-01-04