Основные свойства функции распределения

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1, т.к. 0 ≤ P ≤ 1 – из аксиомы I.

2. Приращение функции на промежутке - это вероятность того события, что значение случайной величины попадёт на интервал или на его левую границу.

Доказательство:

Пусть a < b; рассмотрим события:

По 3-й аксиоме:

- приращение функции на промежутке ч.т.д.

3. F(x) – неубывающая функция.

Для любого

Доказательство: (из 2 свойства) следовательно, по первому свойству ч.т.д.

4.

Доказательство: Из определения:

5. Функция распределения в точке своего возможного значения непрерывна слева и разрывна справа:

6. Для ДCB: вероятность того, что ДCB Х примет своё возможное значение х_к, т.е. , равна скачку функции распространения в этой точке:

Доказательство: По свойству «2»

Предположим, что правый конец b → а.

Пусть , тогда ч.т.д.

Вывод: график функции распределения ДCB Х есть ступенчатая фигура, расположенная в промежутке y=0 и y=1 (в точках х_k – делаются ступеньки из скачков).

7. (Дополнительное свойство)

Доказательство: , где ,

ч.т.д.

Пункты “3”,”4”,”6” – фундаментальные свойства F(x), т.е. если какая-нибудь функция G(x) удовлетворяет этим трем условиям, то она может считаться функцией распределения для какой-то случайной величины.

Рассмотрим случайную величину Х < x

, где x_m < х - несовместные события

тогда

Пример 3: Построить график функции распределения случайной величины X - число очков на верхней грани игрального кубика.

xi						6
pi	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

1. x≤1

2. 1<x<2

3. 2<x<3

4. 3<x<4

5. 4<x<5

6. 5<x<6

7. x>6

Таким образом, для ДСВ кумулятивная функция.

Дата добавления: 2014-01-04