Свойства математического ожидания

Механический смысл математического ожидания

Пусть в точках x₁, x₂, …, x_n числовой оси сосредоточены массы p₁, p₂, …, p_n:

Тогда – есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек.

1. Математическое ожидание – это число;

2. Математическое ожидание от константы равно константе:

, в частности ;

3. , где С – константа, Х – случайная величина;

4. ;

5. , если Х и Y – независимые случайные величины.

Кроме математического ожидания, характеризующего расположение центра закона распределения (т.е. являющегося характеристикой положения), рассмотрим Моду – M₀, Медиану - M_e и Квантиль – Р или -процентная квартиль.

Модой случайной величины Х называется наиболее вероятное ее значение для ДСВ, а если Х – НСВ, то мода – значение случайной величины, при которой f(x) максимальна. Графически:

ДСВ НСВ

M₀ = х₃ M₀ = х^*

Существуют распределения двух типов – полимодальные и антимодальные:

1. Для ДСВ:

- полимодальные - антимодальные

M₀ = х₂, M₀ = х₄, M₀ = х₆ моды нет

2. Для НСВ:

- полимодальные - антимодальные

M₀ = х₁, M₀ = х₂ моды нет

Понятие медианы, как правило, вводится для НСВ.

Медиана M_e – это такое значение случайной величины, для которого выполняется следующее равенство:

Геометрический смысл: прямая Х = M_e делит площадь под кривой распределения пополам:

Для симметричного распределения Мода, Медиана и Математическое ожидание совпадают:

Пусть

Тогда график плотности f(x):

Квантиль порядка p (0 ≤ p ≤ 1) – это значение абсциссы x_pi, при котором выполняется следующее равенство:

1. при p = 1/2 квантиль x_½ = M_e (пятидесяти процентная квантиль)

;

2. при p = 1/4 квантиль x_¼ = M_e (двадцати пяти процентная квантиль – нижняя квартиль);

3. при p = 3/4 квантиль x_¾ = M_e (семидесяти пяти процентная квантиль – верхняя квартиль);

4. - интерквантильный промежуток.

Дата добавления: 2014-01-04