![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
IV. Импульс частицы и системы частицФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
1. Импульс частицы. Закон изменения импульса частицы.
Огромную роль в изучении физических явлений играют, так называемые сохраняющиеся величины. Одной из них является импульс частицы. Вспомним, что импульсом частицы называется векторная физическая величина
Отсюда следует следующее выражение
2. Импульс системы частиц.
Рассмотрим систему N материальных точек, на которую действуют некоторые силы. Разделим эти силы на две группы: Запишем закон изменения импульса 1-ой частицы:
Запишем закон изменения импульса 2-ой частицы:
Запишем закон изменения импульса i-ой частицы:
Величину, стоящую в левых скобках
Это выражение представляет собой закон изменения импульса системы, взаимодействующих между собой частиц – изменение импульса такой системы частиц равно суммарному импульсу всех внешних сил, действующих на систему. Отсюда следует очень важный практический вывод: импульс системы частиц может изменяться только под действием внешних сил. Назовем замкнутой такую систему частиц, на которую не действуют внешние силы. Тогда сформулируем закон сохранения импульса: В замкнутых системах суммарный импульс остается постоянным. Замечание. У незамкнутых систем может сохраняться постоянной какая-либо проекция импульса.
3. Центр масс системы частиц. Закон движения центра масс системы.
Рис. 24
На эту систему действуют внешние силы, под действием которых она может перемещаться. Для такой системы можно вести некоторую точку пространства, не обязательно совпадающую с какой-либо из точек системы, которая обладает рядом интересных свойств. Введем точку С при помощи следующего радиус-вектора:
Здесь mi – масса i-ой частицы. Полученную таким образом точку называют центром масс системы частиц. Найдем производную по времени от этого выражения:
Здесь
Мы обозначили Вспомним уравнение движения системы материальных точек под действием внешних сил:
Выразив
Или иначе:
Обозначим
Центр масс системы движется, как точка с массой, равной всей массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, действующих на эту систему. Закон движения центра масс системы: если система замкнута, то ее центр масс либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно. Задачи по теме.
V. Энергия частицы и системы частиц. 1. Механическая работа.
Пусть на частицу в точке А действует некоторая сила
Рис. 25 Здесь вектор Назовем элементарной работой силы следующую величину:
Здесь Если же сила изменяется при движении очки вдоль траектории, то работа в этом случае находится как сумма всех элементарных работ:
2. Центральные силы. Работа гравитационных сил
Центральной силой называется такая сила, которая зависит только от расстояния до некоторого центра О и всегда направлена по радиус-вектору движущейся точки относительно этого центра. В качестве примера такой силы рассмотрим силу гравитационного притяжения двух материальных точек массами m1 и m2 (рис. 26).
Рис. 26
Найдем работу такой силы при перемещении частицы массой m2 из точки 1 в точку 2. Сила гравитационного взаимодействия имеет вид :
Элементарная работа этой силы
Внимание, здесь dr есть приращение модуля радиус-вектора Ищем теперь работу силы на всем пути частицы от точки 1 до точки 2:
3. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии.
Если на тело действует некоторая сила уравнение движения тела для этого случая:
Умножим это уравнение слева и справа на величину перемещения dx .
Получим далее:
Рассмотрим выражение:
Выражение в правой части есть элементарная работа dA, а выражение, стоящее в левой части, есть приращение некоторой физической величины Е. Эту величину Е=
Мы получили теорему об изменении кинетической энергии тела: Приращение кинетической энергии тела равно работе всех сил, совершающих работу.
4.Консервативные силы. Поле центральных сил.
Если с каждой точкой пространства связана некоторая векторная величина, то говорят, что задано поле этой физической величины. Например, может быть задано поле сил тяжести и т.д. Если при перемещении частицы в некотором силовом поле работа не зависит от формы траектории, а только от начальной и конечной точки, то такое поле называется консервативным или потенциальным. Пусть в консервативном поле тело из точки 1 перемещается в точку 2 по произвольной траектории (рис. 27).
а
в Рис. 27 Можно сформулировать свойство консервативности сил несколько иначе. Рассмотрим перемещение тела на замкнутом пути 1а2в1. Работа при этом может быть записана как:
А=А1а2 + А2в1.
Можно увидеть, что из определения работы силы следует, что А2в1 = - А1в2 . Поэтому
А = А1а2 – А1в2 .
Работа в консервативном поле не зависит от формы траектории, следовательно А=0. Получаем, что работа по замкнутому контуру в поле консервативных сил равна нулю.
5.Поле центральных сил
Мы уже давали определение центральных сил. Рассмотрим теперь работу в поле таких сил. Общий вид центральной силы может быть записан следующим образом (рис.28):
Здесь
Рис. 28 Найдем работу этой силы на некотором пути из точки 1 в точку 2. По определению полной работы:
Здесь
5. Потенциальная энергия частицы в поле сил. Воспользуемся тем фактом, что работа консервативных сил не зависит от формы траектории, и введем новое физическое понятие потенциальной энергии частицы. Рассмотрим поле консервативных сил, в котором частица совершает несколько последовательных независимых перемещений из некоторой начальной точки О в точки 1, 2 и 3 (рис. 29).
Рис. 29
Так в консервативном поле работа не зависит от пути, то в данном случае работа зависит только от положения конечных точек пути 1,2 и 3. Данная работа будет некоторой функцией
Найдем теперь работу консервативных сил при перемещении частицы из точки 1 непосредственно в точку 2, минуя точку 0.
А12 = А10 + А 02.
Это выражение запишем иначе:
А12 = U1 - U2.
Итак, потенциальной энергией частицы в поле консервативных сил называют такую функцию
6.Потенциальная энергия и сила поля.
В динамике при описании поведения частиц мы использовали понятие силы и второй закон Ньютона. Оказывается, что поведение частицы в консервативном поле можно описать на основе понятия потенциальной энергии. Установим связь между потенциальной частицей в консервативном поле и силой, действующей на частицу в этом поле. Для элементарной работы можем записать:
Или иначе
В общем случае существует следующая связь силы с изменением потенциальной энергии:
В скобках стоит некий оператор (набла), который еще иначе называют градиентом (grad):
Поэтому связь силы и потенциальной энергии можно записать более компактно:
7. Механическая энергия частицы. Закон изменения и сохранения механической энергии частицы.
Рассмотрим частицу, находящуюся в поле консервативных сил. Тогда все силы, действующие на частицу, можно разбить на две группы: силы, действующие на частицу со стороны этого поля и силы, не принадлежащие к этому полю (они могут быть как консервативными, так и диссипативными). Эти вторые силы назовем сторонними. Система, на которую действую сторонние силы, называют незамкнутой. Как известно, все силы, действующие на частицу, изменяют ее кинетическую энергию:
С другой стороны, известно что:
Тогда первое уравнение принимает вид:
Перепишем его иначе:
Величину, стоящую в скобках, назовем механической энергией частицы: Мы получили закон изменения механической энергии частицы:
Приращение механической энергии частицы равно работе сторонних сил, действующих на эту частицу. Соответственно, можно сформулировать и закон сохранения механической энергии частицы: В случае отсутствия сторонни сил, механическая энергия системы сохраняется.
8. Применение закона сохранения механической энергии частицы к анализу ее движения в консервативных полях.
Рис. 30
Поскольку сторонних сил нет, то выполняется закон сохранения механической энергии частицы W=E+U=const. Поскольку кинетическая энергия всегда больше нуля, то следует очевидное условие: W>U. Выберем некоторое значение механической энергии частицы (ему соответствует горизонтальная линия на рис. 30). Ясно, что частица может находиться только в области X1 < X < X2 . Такое движение называется финитным. Далее, из соотношения Рассмотрим теперь поведение частицы в другом поле консервативных сил (рис. 31).
Рис. 31 Если задать значение механической энергии W2, то в области Х2 < X < X3 частица будет совершать колебательное движение. В область, правее координаты Х3 частица попасть вообще не сможет. Область типа Х1 – Х2 принято называть потенциальной ямой, а область типа Х3 – Х4 принято называть потенциальным барьером. Если же задать уровень механической энергии W1, то частица уйдет на бесконечность. Такое движение называют инфинитным.
Перейдем теперь к системе частиц. Рассмотрим систему, состоящую из N частиц, между которыми действуют внутренние центральные силы. По определению, такие силы являются консервативными. Положение каждой частицы в системе определяется с помощью радиус-вектора, заданного относительно некоторого начала отсчета. Покажем, что независимо от выбора начала отсчета работа всех внутренних сил пре переходе системы частиц из одного положения в другое может быть описана с помощью некоторой функции, зависящей только от относительного расположения части системы, т.е. от ее конфигурации. Поскольку работа является величиной аддитивной, то элементарная работа, которую совершают все внутренние силы взаимодействия при перемещении частиц, может быть записана в следующем виде:
dA = dA1,2 + dA1,3 +…….+ dA1,N.
Причем, для каждой из этой пары консервативных сил выполняется следующее соотношение: dAi,k =
Здесь Можем ввести некоторую функцию Uik по следующему правилу: Эта функция, зависящая только от взаимного расположения частиц системы, называется собственной потенциальной энергией этих двух частиц. Тогда величину
Uсобств = U1,2 + U1,3 + ……..
Назовем собственной потенциальной энергией системы частиц. Итак: 1) каждой конфигурации системы частиц соответствует свое значение собственной потенциальной энергии. 2) Работа всех внутренних консервативных сил при изменении конфигурации системы равна убыли собственной потенциальной энергии системы: 3)
Рассмотрим теперь систему частиц, находящуюся во внешнем поле консервативных сил. Каждая частица системы в этом поле обладает некоторым значением потенциальной энергии Ui . Назовем внешней потенциальной энергией системы частиц сумму потенциальных энергий всех частиц, т.е.
10.Кинетическая энергия системы частиц. Назовем кинетической энергией системы частиц сумму кинетических энергий отдельных частиц системы
11. Связь между кинетическими энергиями системы частиц
Рассмотрим систему N частиц, заданных с помощью радиус-векторов относительно некоторого начала отсчета 0. Тогда для кинетической энергии системы относительно этого начала можем записать:
Свяжем с центром масс этой системы подвижную систему отсчета, которая перемещается относительно точки 0 со скоростью
здесь Тогда кинетическая энергия системы относительно точки 0 равна:
Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю, т.к. в системе центра масс сам центр масс покоится, следовательно:
Здесь М – масса всей системы частиц. Кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетической энергии движения частиц относительно центра масс (относительного движения) и кинетической энергии всей системы, помещенной в центр масс, и движущейся со скоростью центра масс.
12. Механическая энергия системы. Закон изменения и сохранения механической энергии системы.
Назовем механической энергией системы частиц сумму ее кинетической и потенциальной энергий. Если на систему действуют внешние и внутренние силы (потенциальные и не потенциальные), то механическая энергия системы изменяется по закону: E + U = Aдисс .
Здесь Aдисс . есть суммарная работа всех диссипативных сил (внешних и внутренних). Если диссипативных сил нет, то выполняется закон сохранения механической энергии системы.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 6820; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Читайте также:
|