Конспект лекций. (для студентов специальности “Автоматизированное управление технологическими процессами”, квалификационный уровень – магистр)

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ

(для студентов специальности “Автоматизированное управление технологическими процессами”, квалификационный уровень – магистр)

Краматорск 2012

УДК 519.8

Современные методы исследования систем. Конспект лекций (для студентов специальности “Автоматизированное управление технологическими процессами», квалификационный уровень – магистр). Сост. А.А.Сердюк. – Краматорск: ДГМА, 2012 – 99 с.

Обобщаются новые методы математического моделирования нелинейных динамических систем. На простых примерах пояснены механизмы возникновения динамического хаоса, изложены принципы фрактального подхода в моделировании хаотической динамики. Приведены последние научные и практические достижения в области моделирования нелинейных динамических систем.

Составитель А.А. Сердюк, доц.

Содержание

Введение................................................................................................... 4

1 ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ................ 5

1.1 Проблемы моделирования нелинейной динамики................................. 6

1.2 Проблема детерминизма......................................................................... 8

1.3 Особенности самоорганизующихся систем........................................... 12

2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ...................... 16

2.1 Понятие о фракталах............................................................................. 16

2.2 Фрактальная размерность. Размерность Хаусдорфа-Безиковича...... 17

2.3 Принцип самоподобия фракталов........................................................ 20

2.4 Классические фракталы......................................................................... 22

2.5 L-системы тертл-графики...................................................................... 26

2.6 Система итерированных функций........................................................ 28

2.7 Фракталы на комплексной плоскости................................................... 30

2.8 Случайные фракталы............................................................................ 35

2.9 Методы определения фрактальной размерности временных рядов... 40

2.10 Реально существующие фракталы...................................................... 49

3 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС......................................................... 55

3.1 Условия зарождения хаотической динамики....................................... 55

3.2 Парадигма хаоса – странный аттрактор Лоренца............................... 57

3.3 Парадигма хаоса – логистическое уравнение...................................... 62

3.4 Качественные и количественные признаки хаоса................................ 68

3.5 Практическое применение хаотической динамики.............................. 71

4 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КАТАСТРОФ................................................. 79

4.1 Элементарные катастрофы................................................................... 79

4.2 От аналитичности к гладкости функций................................................ 84

4.3 Регулярные и критические невырожденные точки гладких функций.. 88

4.4 Неморсовские функции. Функции катастроф........................................ 90

4.5 Отображения катастрофы и бифуркационные множества................... 92

4.6 Пример исследования бифуркационного поведения­

летательного аппарата.......................................................................... 95

Литература.................................................................................................... 99

Введение

В дисциплине рассматриваются математические методы моделирования сложных динамических, прежде всего, нелинейных систем – количественное исследование систем, теория устойчивости, классификация бифуркаций, основы теории катастроф и др.

Ряд свойств динамических систем, таких, как неустойчивость, нелинейность, открытость, диссипация, порождают режимы, свойственные широкому классу сложных систем, начиная от механических, термодинамических, химических, и кончая живыми организмами. В первую очередь это хаотические режимы, которые сейчас принято считать характерными этапами развития любой достаточно сложной нелинейной системы.

Исследование и моделирование хаотических режимов представляет достаточно сложную задачу. Однако необычайно высокая восприимчивость систем, находящихся на этапе хаотического развития, дает ключ к пониманию резких скачкообразных переходов, определяет границы предсказуемости их поведения. Анализ сложных нелинейных систем позволяет также осознать конструктивную роль кризисов в развитии систем, позволяет найти наилучший стиль поведения или управления системой.

Дисциплина посвящена также изучению явления динамического хаоса. В ней демонстрируются универсальные свойства хаоса, в частности, сценарии возникновения хаотических режимов. Далее изучаются и более сложные модели: системы с перемешиванием, как диссипативные, так и консервативные. Формулируется язык описания хаотического поведения, в частности, геометрический язык фракталов.

Большинство изучаемых в дисциплине моделей являются классическими для разных естественнонаучных дисциплин. Однако их освещение с единой точки зрения приводит к общей концепции, которую, следуя Г. Хакену, можно назвать синергетической.

1 ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Основная задача, стоящая перед магистрантами, - выполнить магистерскую работу. Процесс выполнения квалификационной работы магистра может быть разделен на три этапа:

Предварительный этап.

1. Определяется проблемная ситуация в выбранном объекте исследований и выявляются противоречия, требующие разрешения. Производится изучение литературных источников. Результатом этого изучения является выделение нерешенной задачи.

2. Выдвигается гипотеза варианта решения (научная идея). Гипотеза – это положение, требующее доказательства, как предмет исследования.

3. Формулируется тема исследования, которая совместно с сутью проблемной ситуации определяют актуальность исследования.

Исследовательский этап.

1. Формулируются цели исследования и перечисляются конкретные задачи, которые необходимо решить и которые определяют стратегию и направление исследований (задачи в процессе работы могут корректироваться). Следует учесть, что правильная постановка задач служит основой успеха в выполнении научной работы.

2. Производится выбор методов исследования и математического аппарата, а также методики и техники исследования. Выполняются теоретические и экспериментальные исследования. Теоретические исследования должны подвести формальную базу (математическое описание) под будущую модель объекта или процесса. Экспериментальные исследования служат оценкой адекватности модели.

3. Дается оценка полученных результатов, формулируются выводы по работе, часть из которых должна определять научную новизну, другая – практическую ценность. Даются рекомендации по практической реализации результатов исследования.

Этап оформления работы.

1. Определяется композиция (структура) и содержание квалификационной работы, обеспечивающие логическую последовательность изложения.

2. Оформляется предварительный вариант текста, включая иллюстрации и таблицы. Текст должен быть информативным и в то же время кратким и четким, оформлен в соответствии с требованиями к научной работе.

3. Производится научное редактирование текста, просмотр таблиц и иллюстраций, окончательное оформление результатов исследований.

Особенностью проблемных ситуаций, встречающихся в темах магистерских работ, является то, что все объекты исследования являются нелинейными. Обычно нелинейность определяется диссипацией, то есть переходом части упорядоченной энергии в неупорядоченную, например, тепловую.

Нелинейные системы в общем виде не могут быть решены, теория нелинейных систем позволяет получить только частные решения в виде фазовых траекторий на плоскости. Рассматривая жидкостные и механические системы, специалисты обычно стараются исключить нелинейные элементы, к примеру, трение, вызывающее диссипацию. Если пренебречь ими, можно получить простую линейную зависимость между ускорением и силой, придающей это ускорение. Однако при этом нельзя увидеть многообразные виды поведения объектов, которые порождаются нелинейностями и не наблюдаются в линейных системах. Но тогда спросим себя, что дает теория, для чего она нужна?

Теорию привлекают для того, чтобы создать такие модели, которые дадут более точное, чем существующее, описание поведения объектов.

Здесь уместно отметить, что при математическом моделировании нелинейной динамики специалисты столкнулись с трудностями и проблемами.

Дата добавления: 2014-01-04