Выбор масштабов

Недостаток информации.

Качественное описание системы.

Проблемы моделирования нелинейной динамики

Проблемы выделения параметров порядка

При построении модели обычно применяется ограниченное число переменных, иначе возникают проблемы с объемом экспериментальных исследований и интерпретацией результатов моделирования. Важно, чтобы переменные, входящие в модель, были наиболее важными для формирования поведения объекта. Однако такой подход превращает исследование в искусство, а не в науку.

Появление проблемы измерения.

При моделировании некоторых объектов иногда невозможно найти объективную количественную характеристику для важного параметра исследуемого объекта, например, учесть «человеческий фактор».

Зачастую несущественными оказываются многие количественные характеристики исследуемых систем, а важно оценить качественные изменения и скачки, способствующие авариям или катастрофам.

По некоторым объектам, особенно уникальным, например, электросталеплавильная печь, не удается собрать статистическую информацию.

Проблема связана с тем, что масштабы параметров и их размерности устанавливаются априорно, например, выбор частотного диапазона, точности измерения и т.п. При неправильно выбранном масштабе можно не обнаружить важные явления, например, всплески. В такой ситуации исследователь видит, то что можно, а не то, что нужно.

Мы привыкли пользоваться геометрией Евклида, которая оперирует длиной, шириной и высотой, то есть характеризуется тремя измерениями. Однако такая геометрия не позволяет постичь сущность неправильных форм, повсюду встречающихся в природе. Евклидова математика не позволяет описать дерево, облако, горы и многое другое.

Из чисто практических соображений мы, глядя на карту дорог, понимаем, что на самом деле дорога трехмерна, но ее высота нас мало интересует.

Однако, если подходить к вопросу размерности серьезнее, то можно задать такой вопрос: А сколько измерений имеет клубок веревки? И окажется, что ответ зависит от уровня восприятия.

С огромного расстояния клубок представляется не более чем точкой с нулевой размерностью. Приближаясь, можно заметить, что он подобен сфере и, таким образом, характеризуется уже тремя измерениями. На еще более близком расстоянии становится различимой сама бечевка и объект приобретает одно измерение, скрученное таким образом, что задействуется трехмерное пространство. Вопрос о числе цифр, определяющих положение точки, остается актуальным: пока мы вдалеке, нам не нужно ни одной, поскольку мы видим лишь точку; приблизившись, мы нуждаемся уже в трех, а подойдя еще ближе, довольствуемся одной, так как любое заданное положение вдоль всей длины бечевки неповторимо, независимо от того, вытянута ли она или смотана в клубок.

Продвигаясь далее, к более мелким, видимым только под микроскопом деталям, обнаружим следующее: бечевка состоит из скрученных трехмерных протяженных объектов, а те, в свою очередь, — из одномерных волокон, вещество которых распадается на частицы с нулевыми измерениями.

Итак, численный результат измерений зависит от отношения объекта к наблюдателю. Именно это иллюстрируют математические традиции.

Парадоксальные результаты анализа размерности (топологии) были получены также (в 70-е годы ХХ века) при попытке измерить длину береговой линии Великобритании. Оказалось, что с уменьшением единицы измерения длина береговой линии возрастает и при использовании предельно малой величины размерности становится бесконечной.

Французский и американский математик Бенуа Мандельброт занялся анализом размерностей, не полагаясь на довольно смутные понятия «издалека» и «ближе», которые использовались при реальных измерениях объектов. Он поставил вопрос: А что наблюдается в промежутке?

Бесспорно, провести строгую черту, по пересечении которой клубок бечевки превращается из трехмерного объекта в одномерный, невозможно. Тем не менее, Мандельброт по-новому взглянул на проблему размерности.

Он двигался от целочисленных размерностей 0,1,2,3... к тому, что казалось невозможным, — к дробным измерениям.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее «длины», обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных размерностей, которые получили название «фрактальных». Объекты с фрактальной размерностью стали называть фракталами

Дата добавления: 2014-01-04