Отображения катастрофы и бифуркационные множества

Рассмотрим семейство функций

, (4.26)

где – гладкое многообразие, , – другое гладкое многообразие, пространство состояний; – пространство управляющих параметров (управлений).

Многообразие катастрофы назовем подмножество в , определяемое уравнением:

, (4.27)

то есть это пересечение гиперповерхностей в :

. (4.28)

Отображением катастрофы называется ограничение на М^# естественной проекции:

или

.

Особым множеством S называется подмножество в М^#, состоящее из особых точек отображения .

Образ особого множества называется бифуркационным множеством и обозначается J_B.

Рассмотрим подробно пример, где определим все отображения и множества, которые были введены выше.

Пример. Катастрофа (катастрофа «сборки») с возмущением а представлена выражением:

. (4.29)

Здесь коэффициенты 1/4 и 1/2 взяты для удобства.

Итак, последовательно определяем:

1. Многообразие катастрофы (множество критических точек):

, (4.30)

Отсюда:

. (4.31)

Тогда любую точку можно задать координатами:

,

где вычисляется через

Многообразие катастрофы определяется множеством управляющих параметров:

. (4.32)

2. Множество критических вырожденных точек (особое множество ) находится из условия равенства нулю первой второй и третьей производных:

(4.33)

(4.34)

Из (4.33) получаем точки пространства управляющих параметров, которые определяют вырожденную критическую точку на :

(4.35)

3. Если исключить из (4.35), то получим:

. (4.36)

Уравнение (4.36) определяет часть бифуркационного множества . Оставшуюся часть найдем из выражения (4.34) для дважды вырожденных точек . Имеем:

. (4.37)

Итак, бифуркационное множество (сепаратриса управляющих параметров) J_B состоит из точки , которая называется точкой сборки, и кривой складок, описываемой уравнением (4.36). Многообразие и отображение катастрофы показано на рисунке 4.8.

Рисунок 4.8 – Многообразие катастрофы и бифуркационное множество элементарной катастрофы

Функция в разных областях пространства управляющих параметров имеет вид, приведенный на рисунке 4.9.

Дата добавления: 2014-01-04