КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа
Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа L (x) и его остаточный член RL (x) для случая трех узлов интерполяции (n = 2), но с учетом, что xi – xi –1 = h = const (i = 1,2,..., n): L (x) = [(x – x 1)(x – x 2)y0 – 2(x – x 0)(x – x 2)y1 + (x – x 0)(x – x 1)y2]; RL (x) = (x – x 0)(x – x 1)(x – x 2). Найдем их производные: L' (x) = [(2 x – x 1 – x 2)y0 – 2(2 x – x 0 – x 2)y1 + (2 x – x 0 – x 1)y2]; R'L (x) = [(x – x 1)(x – x 2) + (x – x 0)(x – x 2) + (x – x 0)(x – x 1)]. Здесь – значение производной в некоторой внутренней точке x * Î [ x 0, xn ]. Запишем выражение для производной y' 0 при х = x 0: y' 0 = L' (x 0) + R'L (x 0) =[(2 x 0 – x 1 – x 2)y0 – 2(2 x 0 – x 0 – x 2)y1 + + (2 x 0 – x 0 – x 1)y2] + [(x 0 – x 1)(x 0 – x 2) + (x 0 – x 0)(x 0 – x 2) + (x 0 – x 0)(x 0 – x 1)] = = (– 3y0 + 4 y 1 – y 2) + . Аналогично можно получить значения y' 1, y' 2 при х = x 1, х = x 2. Итак, для случая трех узлов (n = 2) рабочие формулы имеют следующий вид: (11) В справочных пособиях приведены формулы Лагранжа для n = 3,4, …. Так для случая четырех узлов (n = 3): (12) Анализируя (11) и (12) можно утверждать, что, используя значения функции в (n +1) узлах, получают аппроксимацию n -го порядка точности для производной. Эти формулы можно использовать не только для узлов x 0, x 1, x 2, …, но и для любых узлов x = xi, xi +1, xi +2, … с соответствующей заменой индексов в (11) и (12). С помощью многочлена Лагранжа получены аппроксимации и для старших производных. Таким образом, при n = 3: и т.д. Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольной сетки расположения узлов. Однако в этом случае имеют место неизбежные громоздкие выражения для расчетов производных. При возникшей необходимости таких расчетов целесообразнее применять искусственный прием, так называемый метод неопределенных коэффициентов.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 579; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |