Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа


Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа L(x) и его остаточный член RL(x) для случая трех узлов интерполяции (n = 2), но с учетом, что xixi–1 = h = const (i = 1,2, ..., n):

L(x) = [(xx1)(xx2)y0 – 2(xx0)(xx2)y1 + (xx0)(xx1)y2];

RL(x) = (xx0)(xx1)(xx2).

Найдем их производные:

L'(x) = [(2xx1 x2)y0 – 2(2xx0x2)y1 + (2xx0x1)y2];

R'L(x) = [(xx1)(xx2) + (xx0)(xx2) + (xx0)(xx1)].

Здесь – значение производной в некоторой внутренней точке x* Î [x0, xn].

Запишем выражение для производной y'0 при х = x0:

y'0 = L'(x0) + R'L(x0) =[(2x0x1 x2)y0 – 2(2x0x0x2)y1 +

+ (2x0x0x1)y2] + [(x0x1)(x0x2) + (x0x0)(x0x2) + (x0x0)(x0x1)] =

= (– 3y0 + 4y1y2) + .

Аналогично можно получить значения y'1, y'2 при х = x1, х = x2.

Итак, для случая трех узлов (n = 2) рабочие формулы имеют следующий вид:

(11)

В справочных пособиях приведены формулы Лагранжа для n = 3,4, …. Так для случая четырех узлов (n = 3):

(12)

Анализируя (11) и (12) можно утверждать, что, используя значения функции в (n+1) узлах, получают аппроксимацию n-го порядка точности для производной. Эти формулы можно использовать не только для узлов x0, x1, x2, …, но и для любых узлов x = xi, xi+1, xi+2, … с соответствующей заменой индексов в (11) и (12). С помощью многочлена Лагранжа получены аппроксимации и для старших производных.

Таким образом, при n = 3:

и т.д.

Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольной сетки расположения узлов. Однако в этом случае имеют место неизбежные громоздкие выражения для расчетов производных.

При возникшей необходимости таких расчетов целесообразнее применять искусственный прием, так называемый метод неопределенных коэффициентов.

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Аппроксимация посредством многочлена Ньютона | Метод неопределенных коэффициентов

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 424; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.