Метод неопределенных коэффициентов

В основном используется для случая произвольного расположения интерполяционных узлов. В данном случае искомое выражение k -ой производной в некоторой точке x = x_i представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции y_j = f (x_j), в узлах:

, . (13)

Предполагается, что это соотношение выполняется точно, если y = f (x) является многочленом степени не выше n, т.е. если она может быть представлена в виде:

.

Отсюда следует, что соотношение (13) должно выполняться точно для многочленов y = 1, y = x – x_j, y = (x – x_j)², y = (x – x_j) ⁿ. Производные от них соответственно равны:

y ' = 0; y ' = 1; y ' = 2(x – x_j), …, y ' = n (x – x_j) ^{n –1}.

Подставляя эти выражения в левую и правую части (13), получают систему линейных алгебраических уравнений (n + 1)-го порядка для вычисления значений c ₀, c ₁, …, c_n.

Пример. Найти выражение для производной y '₁ в случае четырех узлов (n =3), h = const. Запишем (13) в виде:

.

Используем многочлены:

y = 1; y = x – x ₀; y = (x – x ₀)²; y = (x – x ₀)³; (14)

y ' = 0; y ' = 1; y ' = 2(x – x ₀); y = 3(x – x ₀)². (15)

Подставим (14) и (15) в искомое уравнение при x = x ₁

0 = c ₀×1 + c ₁×1 + c ₂×1 + c ₃×1;

1 = c ₀(x ₀ – x ₀) + c ₁(x ₁ – x ₀) + c ₂(x ₂ – x ₀) + c ₃(x ₃ – x ₀);

2(x ₁ – x ₀) = c ₀(x ₀ – x ₀)² + c ₁(x ₁ – x ₀)² + c ₂(x ₂ – x ₀)² + c ₃(x ₃ – x ₀)²;

3(x ₁ – x ₀)² = c ₀(x ₀ – x ₀)³ + c ₁(x ₁ – x ₀)³ + c ₂(x ₂ – x ₀)³ + c ₃(x ₃ – x ₀)³.

Получаем после преобразования:

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает следующие значения:

c ₀=; c ₁=; c ₂=; c ₃=;

.

Это тождественно соотношению (12) для y' ₁, только без указания теоретической погрешности.

Дата добавления: 2014-01-04