Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Мы поможем в написании ваших работ!

Аддитивные функции полезности


Пусть Х представляет собой непустое подмножество декартова произведения n множеств Х1Х2Хn, и пусть определено отношение предпочтения на Х. Будем говорить, что u является аддитивной функцией полезности для отношения на Х тогда и только тогда, когда она является вещественной функцией полезности на Х и существуют вещественные функции u1, u2,…,un (определенные на Х1, Х2,…, Хn соответственно), такие, что для всех x=(x1, x2,…, xn) из Х справедливо равенство

u(x1, x2,…, xn)=u1(x1)+u2(x2)+…+ un(xn). (1.8)

Аналогично u является совершенной аддитивной функцией полезности для отношения на Х, если она совершенная функция полезности, и существуют функции полезности ui, такие, что выполняется равенство (1.8).

Чтобы сформулировать условия независимости, которые должны гарантировать аддитивность функции полезности, потребуются некоторые новые понятия, и прежде всего отношение эквивалентности (). Соотношение (x1, x2,…, xm)(y1, y2,…, ym) имеет место тогда и только тогда, когда каждый x1, x2,…, xm лежит в Х (m - некоторое целое положительное число больше единицы) и для каждого i от 1 до m набор x1, x2,…, xm является перестановкой (переупорядочением) набора y1, y2,…, ym. Если равенство (1.8) выполняется и (x1, x2,…, xm)(y1, y2,…, ym), то u(x1)+u(x2)+…+u(xm)=u(y1)+u(y2)+…+ym; последнее равенство получается, если сделать соответствующую подстановку в (1.8) и сократить одинаковые члены ui. Следовательно, если (x1, x2,…, xm)(y1, y2,…, ym) и u является аддитивной функцией полезности для отношения на Х, то не может выполняться отношение хkуk для k= 1, 2,...m, а если u - совершенная аддитивная функция полезности для на Х, то не справедливы отношения xk уk для k=1, 2,...,m и xkуk для некоторого k.

Предположим, что Х - конечное множество. Тогда для (x1, x2,…, xm)(y1, y2,…, ym) отношения на Х аддитивная функция полезности существует тогда и только тогда, когда для каждого отношения эквивалентности является ложным условие, что xkyk для всех k от 1 до m.

Жесткие ограничения на структурные характеристики приводят к тому, что различные совершенные аддитивные представления функции полезности для специального отношения на Х связаны одинаковыми аффинными преобразованиями. Пусть u - совершенная аддитивная функция полезности для отношения на Х и функции u1, u2,…,un удовлетворяют равенству (1.8). Тогда u* с соответствующими функциями из (1.8) является также совершенной аддитивной функцией полезности для отношения на Х, если и только если существуют действительные числа b, c1, c2,…,cn (b>0) такие, что u*=bu(x)+c1+c2+…+cn для всех х из Х и для каждого i=1 от 1 до n2 справедливо равенство (xi)=bui(xi)+ci для всех xi из Xi.



Эта особенность функций ui существенно упрощает их масштабирование и оценку. В тех случаях, когда множество Х конечное или не обладает «удобной» структурой, функции ui не будут иметь указанную особенность и могут потребоваться различные оценочные приемы.

Вернемся теперь к рассуждениям, связанным с изучением отношения предпочтения на множестве Р простых распределений вероятностей, заданных на подмножестве Х декартова произведения n множеств X1Х2Хn. Пусть задано p из множества Р; тогда pi; называется маргинальным распределением p на Xi.

Рассмотрим только совершенные линейные функции полезности, Допустим, что выполняются аксиомы В1, В2, В3 (из подраздела 1.2.2).

Вещественная функция u на Р является совершенной аддитивной линейной функцией полезности для отношения на Р тогда и только тогда, когда она является совершенной линейной функцией полезности для отношения на Р (подраздел 1.3.1) и для ее дополнительной функции v, определенной на Х с помощью формулы (1.5), существуют вещественные функции vl, v2,…,vn, заданные на X1, X2,…,Xn, такие, что для всех x из Х справедливо равенство

v(x1, x2,…, xn) = v1 (x1)+v2(x2)+...+vn(xn). (1.9)

Пусть выполняется равенство (1.9) и ui (pi) определены как математическое ожидание vi с распределением вероятностей pi на xi; тогда u(р) =u(p1)+u(p2)+…+un(pn) для всех p из Р.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Условие независимости | Субъективная вероятность и ожидаемая полезность

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 751; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.