Статистическая вероятность

Рассмотрим опыт, в результате которого может появиться (или не появиться) событие. Проведем серию, состоящую из испытаний и, подсчитав количество испытаний, заканчивающихся появлением события , вычислим относительную частоту появления события: .

При малом количестве опытов относительная частота появления события подвержена резким колебаниям, но при увеличении их числа эти колебания уменьшаются и относительная частота приближается к некоторому постоянному числу (принцип устойчивости частоты). В этом случае вводится так называемая статистическая вероятность события , как предел относительной частоты появления этого события при неограниченном увеличении числа испытаний , т.е.

.

1.2.3.Геометрическая вероятность.

Основным недостатком предыдущих рассуждений является то, что предполагают конечное или счетное число элементарных исходов. Этот недостаток можно преодолеть, введя геометрическое определение вероятности.

Пусть в плоскости имеется некоторая фигура , которая содержит фигуру . Случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем точку в область . «Наудачу» означает, что вероятность попадания точки в любую область внутри области зависит только от площади области и не зависит от его формы и положения внутри области . Введем событие А, которое состоит в попадании точки в произвольную область _, тогда

где иплощади области и соответственно.

Пример1.2.1.

Пусть область - равносторонний треугольник со стороной , а - вписанная в этот треугольник окружность. Найти вероятность попадания точки, брошенной наудачу в , в окружность _. Решение:

Площадь равностороннего треугольника равна:.

Учитывая, что радиус вписанной окружности равен , получим и .

1.2.4. Классическая формула вычисления вероятности.

Пусть - конечное пространство элементарных событий.

Предположим, что все элементарные исходы равновероятны:

и пусть событие включает в себя элементарные исходы . Эти исходы называются исходами опыта, благоприятствующими событию . В этом случае вероятность события может быть вычислена как:

,

где - число благоприятных событию исходов, - общее число элементарных исходов.

Пример 1.2.2. В урне 5 белых и 10 черных шариков. Какова вероятность наудачу вынуть белый шар?

Решение. В данном случае число возможных исходов опыта =15, и число исходов, благоприятных данному опыту =5. Поэтому

Пример 1.2.3. Из урны, содержащей 5 белых и 10 черных шаров, наудачу достают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Выбор двух шаров из урны является неупорядоченным выбором без возвращения. Поэтому общее число исходов равно , благоприятное число исходов- , а вероятность данного события .

Одним из основных достоинств классической схемы выявления вероятности является возможность вычисления вероятности события, не прибегая к опытам, а заменяя их логическими рассуждениями.

Глава 1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Пусть есть некоторые события и , вероятности которых известны. Поставим задачу вычисления вероятности более сложных событий, связанных с данными событиями.

Теорема 1.3.1. (вероятности суммы событий)

Геометрически, если считать, что вероятность события пропорциональна площади геометрической фигуры, которая соответствует данному событию, то

Следствие для несовместных событий ():

.

Теорема 1.3.2. (вероятность противоположного события).

.

Условной вероятностью называется вероятность события в предположении, что событие произошло.

Теорема 1.3.3. (вероятность произведения событий)

Два события называется независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятности появления другого, т.е. .

Теорема 1.3.4. Если для событий и , то эти события независимые.

Пример 1.3.1. Студент сдает два экзамена. Вероятность сдачи первого экзамена равна , второго - . Найти вероятность следующих событий:

– сданы оба экзамена;

– не сдан ни один;

– сдан ровно 1 экзамен;

– сдан хотя бы 1 экзамен.

Решение. Будем считать, что студент сдает экзамены независимо. Тогда введем следующие независимые события: событие - студент сдал первый экзамен, событие - студент сдал второй экзамен. Тогда:

Рассмотрим три способа вычислять вероятность события D. Заметим, что событие “сдан хотя бы один из двух экзаменов” – равносильно событию состоящему в том что “ сданы 1 или 2 экзамена”.

Первый способ:

Из вышесказанного следует: Тогда, пользуясь несовместностью событий и , получим:

Второй способ:

Пользуясь определением суммы событий, запишем: .

Учитывая, что событие исовместны и независимы, получим:

Третий способ: Заметим, что противоположным событию D является событие B (не сдан ни один экзамен): . Тогда

Рассмотрим обобщение теорем вычисления вероятностей суммы и произведения событий на группу, содержащую более двух событий.

Событияназываются попарно несовместными (или просто несовместными), если любые два события несовместны: (

Теорема1.3.5. Если событие несовместны, то

.

Замечание. Формула вычисления вероятности суммы для совместных событий иллюстрируется на примере трех совместных событий :

.

Событие называется независимыми в совокупности, если независимо любое событие из этой группы с произведением любого числа остальных событий этой группы.

Теорема 1.3.6. Если события - независимые в совокупности, то

Теорема 1.3.7. (общий случай). Для произвольных событий

Рассмотрим оценку надежности электрических схем. Пусть вероятность отказа некоторого элемента за время равна , а вероятность безотказной работы за то же время равна .

Будем характеризовать надежность электрического соединения любого количества таких элементов вероятностью отказа этого соединение за время .

Рассмотрим сначала все возможные соединение пары элементов. Как показано в примере 1.2.1, принципиально возможно реализовать два вида соединений, содержащих два элемента: последовательное и параллельное (рис.1.1.1). Пусть - события, состоящие в отказе первого и второго элементов соответственно, причем предположим, что и – событие, состоящее в отказе всей цепи.

Тогда для последовательного соединения и

Для параллельного соединения и

При этом события и считаются совместными и независимыми.

Пример 1.3.2. Вероятность отказа каждого элемента, входящего в цепь, показанную на рисунке 1.3.2, равна . Найти вероятность отказа всей цепи.

Рис. 1.3.2

Решение. Рассмотрим блок, содержащий элементы 1; 2 и 3. Событие, состоящее в отказе этого блока равно , а вероятность отказа этого блока

Тогда схема может быть представлена в виде эквивалентной схемы:

Рис. 1.3.3

Рассмотрим вероятность безотказной работы этой схемы, то есть вероятность события . Пользуясь независимостью отказов элементов схемы, получим:

.

Тогда вероятность отказа цепи равна: .

Пример 1.3.3. (задача о ключах) Пусть есть 10 ключей, из которых к данному замку подходит один из них. Берется наудачу очередной ключ до тех пор пока дверь не откроется. Событие состоит в том, что дверь откроется с – попытки . Найти вероятность этих событий..

Решение. Введем события , где событие состоит в том, что -ая попытка закончится удачей.

……………………………………………………………………

Глава 1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

На практике часто возникает ситуация, когда требуется определить вероятность события, проходящего вместе с одним из несовместных событий, образующих полную группу.

События образуют полную группу несовместных событий, если:

1.(несовместность);

2.(полнота).

В этом случае любое событие может быть представлено как сумма несовместных событий .

Тогда:

Теорема 1.4.1. (Формула полной вероятности или формула смеси)

Если события составляют полную группу несовместных событий, то: .

Пример 1.4.1. Пусть передается последовательность сигналов и такая, что сигнал в этой последовательности передается в два раза чаще сигнала . При этом вероятности ошибки при приеме сигналов и равна и соответственно. Найти вероятность того, что произвольно принятый сигнал принят с ошибкой.

Решение. Пусть и - события, состоящие в том, что принятый сигнал есть и соответственно, а событие состоит в том, что произвольный сигнал принят с ошибкой. Заметим, что в этом случае данные события образуют полную группу несовместных событий. Поэтому справедлива формула полной вероятности, записанная для событий и : .

Учитывая, что и пользуясь формулой полной вероятности, получим: .

Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез , принятых до опыта и называемых априорными (доопытными) по результатам уже проведенного опыта, то есть найти вероятности , которые называют апостериорными (послеопытными).

Таким образом, предположим, что опыт произошел и в результате опыта событие наступило. Рассмотрим, как изменились вероятности гипотез, т.е. вычислим вероятности .

Теорема 1.4.2. (формула Байеса или теорема гипотез).

для всех .

Таким образом, формула Байеса позволяет пересчитать вероятности гипотез после того, как становится известным, что в результате опыта появилось событие А.

Пример 1.4.2. Для условия предыдущей задачи вычислить апостериорные вероятности и .

Решение. Априорные вероятности равны: ; , и, если не учитывать результат опыта, то с вероятностьюпроизвольно принятый сигнал есть сигнал , а с вероятностью сигнал .

Пусть теперь известно, что данный сигнал принят с ошибкой.

Так как качество приема сигналов хуже, чем , то апостериорная вероятность повысится, а апостериорная вероятностьпонизится. По формуле Байеса имеем:

.

Глава 1.5. Повторение испытаний.

Испытания называются независимыми относительно некоторого события А, если вероятность появление события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний.

Испытания до первого успеха. Рассмотрим серию независимых испытаний, каждое из которых может закончиться успехом или неудачей. Будем считать, что серия испытаний заканчивается после первого успеха. Например, серия выстрелов до первого попадания в мишень, передача некоторого сообщения до первого правильного его приема и т.д.

Обозначим через успех в -ом испытании и пусть

(вероятность успеха) и (вероятность неудачи). Рассмотрим вероятность того, что серия состоит ровно из испытаний:

Такая схема называется схемой испытаний до первого успеха или геометрической схемой.

Пример 1.4.3. Ведется прием серии сообщений до первого верно принятого сообщения. Вероятность приема каждого отдельно взятого сообщения . Найти вероятность следующих событий:

- принято ровно три сообщения;

- принято менее трех сообщений;

- принято хотя бы три сообщения.

Решение.

Вычислим теперь вероятность события .

Первый способ.

Пользуясь тем, что полученный ряд является геометрической прогрессией, получим:

.

Второй способ.

Заметим, что . Тогда

Способ 3.

Если первое и второе испытания закончились неудачей, то успех произойдет на 3, 4, 5 и т.д. испытаниях, а это значит, что надо будет делать хотя бы три испытания:

Рассмотрим конечное число независимых испытаний, каждое из которых может окончиться успехом или неудачей, причем вероятность успеха в каждом -ом испытании и не зависит от номера испытания. Совокупность таких условий называется схемой Бернулли.

Теорема 1.5.1. (формула Бернулли).

Для схемы Бернулли

где - число испытаний в серии;

- число испытаний, закончившихся появлением успеха;

- вероятность успеха;

- вероятность неудачи.

Пример 1.5.2. Сообщение представляет собой последовательность, состоящую из пяти независимо принимаемых сигналов, каждый из которых принимается с вероятностью . Сообщение принято, если верно принято хотя бы три сигнала, составляющих сообщение. Найти вероятность того, что сообщение принято.

Решение. Так как сигналы принимаются независимо и вероятность успеха (вероятность приема каждого сигнала) не зависит от номера сигнала в принимаемой последовательности, мы имеем дело со схемой Бернулли. Учитывая, что “хотя бы три сигнала из пяти” равносильно приему трех, четырех или пяти сигналов последовательности, а также учитывая, что перечисленные события являются несовместными, получим:

Дата добавления: 2014-01-04