Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин определяются по аналогии с числовыми характеристиками для дискретных случайных величин путем замены операции суммирования на операцию интегрирования, а закона распределения на плотность распределения.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называют:

.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

.

При этом для вычисления дисперсии удобно использовать равноценную формулу:

,

где .

Свойства математического ожидания и дисперсии, а также их физический смысл аналогичны свойствам этих характеристик, рассмотренным для дискретных случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение для непрерывной случайной величины определяется как

.

Пример 2.2.3. Определить числовые характеристики случайной величины, равномерно распределенной на интервале (пример 2.1).

Решение:

При записи выражений для числовых характеристик равномерного распределения необходимо учесть, что за пределами интервала .

;

;

.

2.2.4. Примеры распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение рассмотрено в примерах 2.2.1, 2.2.3.

Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) распределением называется распределение, задаваемое плотностью

.

Функция распределения для показательного закона имеет вид:

.

Числовые характеристики показательного закона распределения:

; ;

Показательное распределение используется в задачах оценки надежности.

Рассмотрим некоторое электронное устройство, которое включается в момент времени t ₁ и отказывает в момент времени t ₂. Тогда время безотказной работы устройства является некоторой непрерывной случайной величиной . В этом случае функция распределения определяет вероятность отказа устройства за время . Следовательно, вероятность безотказной работы можно вычислить как

Такую функцию называют функцией надежности электронного устройства.

Во многих случаях время безотказной работы имеет показательное распределение , где - средняя интенсивность отказов электронных устройств. Тогда, функция надежности определяется выражением:

.

Пример 2.2.4. Время безотказной работы устройства распределено по закону f(t)= 0,01 e ^{-0,01 t} (t ≥0). Найти вероятность того, что данное устройство проработает безотказно 100 часов.

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся функцией надежности для показательного распределения:

R (100)= e ^-0,01·100=0,368

То есть вероятность того, что данное устройство проработает более 100 часов равна 0,368.

2.2.5. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины с плотностью:

.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами m и и, в некоторых случаях, обозначается как . Можно показать, что для нормально распределенной случайной величины:

.

График плотности распределения для нормально распределенной случайной величины показан на рис. 2.2.4.

Рис. 2.2.4 Рис. 2.2.5.

Рассмотрим, как влияют параметры m и на форму кривой нормального распределения.

Изменение величины параметра (математического ожидания) не изменяет формы кривой нормального распределения, а приводит лишь к сдвигу вдоль оси OX.

С возрастанием параметра (СКО) максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой. При этом выполняется нормирующее условие, состоящее в том, что площадь под кривой распределения остается равной единице (рис. 2.2.5).

Дата добавления: 2014-01-04