Случайной величины в заданный интервал

Вероятность попадания нормально распределенной

При непосредственном вычислении вероятности попадания нормально распределенной случайной величины возникают определенные трудности, связанные с тем, что интеграл от плотности нормального распределения не вычисляется аналитически. Поэтому рассмотрим случайную величину .

Если случайная величина Х распределена нормально, то говорят, что случайная величина имеет стандартное нормальное распределение N (0;1²).

Введем функцию , называемую функцией Лапласа.

Функция Лапласа имеет следующие свойства:

1. Ф (0)=0,

2. Ф (- x)=- Ф (х) (нечетность);

3. .

Для вычисления значений функции Лапласа используется таблица.

Используя функцию Лапласа можно записать функцию распределения для нормально распределенной случайной величины:

.

Тогда, применив формулу для вычисления вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал, получим следующую формулу для нормального распределения:

. (2.2.3)

Пример 2.2.5. Найти вероятность попадания случайной величины, распределенной по закону N (3; 2²), в интервал (1;4).

Решение: Используя формулу (2.2.3), получим:

.

Значения функции Лапласа определяем по таблице:

Ф (0,5) = 0,1915;

Ф (1)=0,3413.

Тогда Р (1< X <4)=0,5328.

В некоторых случаях требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от математического ожидания не превосходит . Пользуясь формулой (2.2.3), получим:

. (2.2.4)

Пример 2.2.6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение ; причем Р [| Х - m |<2]=0,6. Найти вероятность Р [| Х-m |<3].

Решение: Используя формулу (2.2.4), получим:

.

Определяем по таблице значение функции Лапласа:

, .

Тогда:

.

2.2.7. Правило трех сигм для нормального распределения

Рассмотрим нормально распределенную случайную величину Х и вычислим вероятность того, что отклонение этой случайной величины от математического ожидания не превысит :

.

С другой стороны вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от ее математического ожидания превысит утроенное среднее квадратическое отклонение равна 0,0027. Поэтому такое событие можно считать практически невозможным.

Таким образом, правило трех сигм состоит в том, что если случайная величина распределена по нормальному закону, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания практически не превышает утроенное СКО.

Раздел 3. Предельные соотношения теории вероятностей.

Глава 3.1. Центральная предельная теорема.

Дата добавления: 2014-01-04