Дискретной случайной величины

Оценка числовых характеристик

Поставим задачу на основе выборки оценить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины .

Пусть выборка имеет реализацию . Вычислим величину, которая является средним арифметическим элементов реализации выборки и называется средним выборочным:

. (6.2.1)

Переходя к упорядоченной выборке, выборочное среднее можно представить в виде:

. (6.2.2)

Данная величина является приближенной оценкой математического ожидания и при увеличении объема выборки сходится по вероятности к математическому ожиданию .

Заметим, что выражение для выборочного среднего совпадает с формулой для математического ожидания , где вместо неизвестных вероятностей входят вычисленные на основании реализации выборки относительные частоты .

Основываясь на этом частном примере, заметим, что при вычислении точечных оценок и в дальнейшем неизвестные характеристики случайной величины заменяются на их оценки.

При оценке дисперсии получим выражение для выборочной дисперсии:

. (6.2.3)

Переходя к упорядоченной выборке получим:

=. (6.2.4)

Выражение для выборочной дисперсии аналогично формуле для дисперсии случайной величины , где неизвестные вероятностей заменены их оценками , а математическое ожидание заменено на оценку .

Величина является приближенной оценкой дисперсии и при увеличении объема выборки сходится по вероятности к математическому ожиданию .

Выборочное среднеквадратическое отклонение определяется как .

Пример 6.2.2. Для случайной величины, рассмотренной в примере 10.2.2., вычислить выборочные оценки параметров.

Решение. Пользуясь таблицей 6.2.1, получим:

.

6.2.4. Выборочные характеристики непрерывной

случайной величины. Гистограмма.

Перейдем к оценке характеристик непрерывной случайной величины и оценим плотность распределения вероятностей . Для получения оценки плотности распределения строят гистограмму.

Пусть в результате наблюдений имеется выборка . Удалим из этой выборки явно недостоверные элементы, обычно противоречащие физическому смыслу решаемой задачи (так называемый статистический мусор). Данные значения появляются в выборке обычно из-за погрешностей опыта или ошибок ввода данных.

Затем область значений случайной величины разобьем на интервалов. Выбор числа интервалов разбиения не является однозначным. В качестве рекомендации можно указать: желательно, чтобы для каждого -ого участка разбиения выполнялось условие . Длину интервала разбиения можно выбрать по формулу Стерджеса:

,

причем начало первого интервала рекомендуется брать в точке .

Так, например, если 3, , а объем выборки 100, то по формуле Стерджеса получаем:

Тогда разбиение указанного интервала может быть таким (верхняя строка таблицы 6.1.)

Таблица 6.2.2

	0,07	0,09	0,16	0,32	0,18	0,09	0,07	0,04
	0,055	0,100	0,178	0,355	0,200	0,100	0,078	0,044

Подсчитаем абсолютные частоты попадания значений случайной величины в каждый интервал разбиения и затем для каждого интервала перейдем к относительной частоте , а затем к величинам . (cм. пример в табл. 6.2.2).

Теперь для каждого интервала разбиения строим прямоугольники, высота которых равна , а основанием является соответствующий интервал (рис.6.2.3). Полученная фигура называется гистограммой.

Рис. 6.2.3

Гистограмма является аналогом плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. При большом объеме выборки (а, следовательно, малой величине интервала разбиения ) гистограмма мало отличается от плотности распределения .

Заметим, что для гистограммы как приближения плотности распределения должно выполняться основное свойство плотности: площадь под кривой должна быть равна единице. В этом и состоит смысл нормировки относительных частот и переход от величин к величинам . Действительно, для гистограммы площадь под кривой равна:

, то есть условие нормировки для гистограммы выполняется.

Дата добавления: 2014-01-04