Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Нер-во Коши-Буняковского


Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Евклидовы пространства

Опр: В линейном пространстве L задано скалярное произв если каждой паре векторов (x,y)ÎL поставлено в соответствие число (х,у) так что выполняются аксиомы:(х,у,z,0 - векторы)

1. (x,y)= (y,x)

2. (ax,y)= a(x,y)

3. (x+y,z)= (x,z)+ (y,z)

4. (x,x)>0 если х¹0

5. (x,x)=0 если x=0

 

Опр: Линейное пространство L со скалярным произведением называют Евклидовым пространством.

В пространстве Rn скал прозвед обычно задают так (x,y)=x1y1+x2y2+…+xnyn. Легко проверить что все оксиомы выполняются. Простр Rn с таким скал произведением обозначают En.

 

Для любых векторов x,yÎL справедливо нер-во: (x,y)2£(x,х)(у,y) (1)

Док-во: (ax-y,ax-y)³0

a2(x,x)-2a(x,y)+(y,y)³0

Т.к. он принимает только неотр значения то дискриминант D’=D/4£0

D’=(b/2)2-ac=(x,y)2-(x,x)(y,y)£0 из этого следует неравенство (1)

 

 

Опр: Нормой (длиной) вектора хÎL назыв число ççхçç=

Свойства норм:

  1. ççхçç³0 ççхçç=0 Û х=0
  2. ||ax||=|a|*||x||
  3. ||x+y||£||x||+||y|| нер-во треугольника

 

Докажем (3)

Нер-во коши-Буняковского можно записать и так |(x,y)|=||x||*||y||

||(x,y)||2=(x+y,x+y)= (x,x)+2(x,y)+ (y,y)£||x||2+2||x||*||y||+||y||2=(||x||+||y||)2 отсюда ||(x,y)||£||x||+||y||

 

угол между векторами х,уÎL назыв угол fÎ[0,p] cosf=((x,y)/(||x||*||y||)). Из нер-ва К-Б следует что правая часть всегда £1.

 

Опр: Вектора x,y наз ортоган если (x,y)=0. пишут х^у

Докажем теорему Пифагора: Если х^у то ||x+y||=||x||2+||y||2

Док-во: ||x+y||2==(x+y,x+y)= (x,x)+2(x,y)+ (y,y)= ||x||2+||y||2

Опр: Система вектр х123..хn наз ортогона если все вектора системы попарно ортоган-ны: (xi,yj)=0 i¹j

Лемма: ортоган система линейна независима

Док-во: Запишем рав-во: a1х1+a2х2+….anxn=0 (1) умножим скалярно на х1 получим a1(x1,x1)=0 Þ a1=0 аналогично доказыв а23n=0



 

Опр: Система вектр х123..хn наз ортонормир если все вектора системы попарно ортоган-ны и их нормы =1

(xi,yj)=0 i¹j

(xi,yj)=1 i=j

 

Вектор с нормой 1 назыв единичным, для произв вектора х вектор е=(х/||x||) явл единичным.

Умножение вектора на множитель 1/||x|| назыв нормировкой

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Алгоритм нахождения собств векторов и значений | Ортонормированный базис

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 420; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.