Ортонормированный базис

Процесс ортогонализации Грамма-Щмидта

Дана система линейно независим векторов f₁,f₂,,,f_n построим из нее ортогон систему e₁,e₂,,,e_n

1. Полагаем e₁=f₁

2. Вектор е₂ ищем в виде e₂=f₂+ae₁ число а выбираем из условия (e₂,e₁)=(f₂+ae₁,e₁)=0

(f₂,e₁)+a(e₁,e₁)=0 Þ

3. Полагаем e₃=f₃+a₁e₁+a₂e₂ числа a₁,a₂ находим из условий (e₃,e₂)=(e₃,e₁)=0 из этих условий: продолжая этот процесс за конечное число шагов получим ортогон систему векторов.

Опр: Базис образующий ортонормированную систему называется ортонормированным

Теорема: В произвольном Евклидовым простр-ве сущ ортонормированный базис

Док-во: Возьмем произвольный базис f₁,f₂,,,f_n используя процесс ортоганализ построим из ее ортоган базис e₁,e₂,,,e_n. Далее с помощью нормировки строим ортонормир базис e'₁’,e₂’,,,e_n’ (e_k’=e_k/||e_k||)

Координаты вектора в ортонормир басисе e₁,e₂,,,e_n. Пусть x=x₁e₁+x₂e₂+,,,+x_ne_n (1) умножая (1) скалярно на e_k, k=1,2,,,n получим x_k=(x_k,e_k).

Вывод: координаты в ортонормированном базисе равны скалярным произведением вектора х на соответствующий базисный вектор.

Лекция 11

произведение Скалярное в ортонормированном базисе

Для ортонормированного базиса

Отсюда получим формулу

Вывод: в ортонормированном базисе скалярное произведение равно сумме попарных произведений координат. Для нормы вектора имеем простую формулу:

;

Скалярное произведение в произвольном базисе

Выражение для скалярного произведения в ортонормированном базисе дается формулой

ОПР. Матрицей Грамма в системе векторов называется матрица Г=с элементами

Г= ;

Ф-ла для скалярного произведения можно записать в виде

Определитель Грама.

ОПР. Определителем Грама G в системе векторов наз. Определитель матрицы Грама

G=det Г

Дата добавления: 2014-01-04