Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ортонормированный базис


Процесс ортогонализации Грамма-Щмидта

Дана система линейно независим векторов f1,f2,,,fn построим из нее ортогон систему e1,e2,,,en

1. Полагаем e1=f1

2. Вектор е2 ищем в виде e2=f2+ae1 число а выбираем из условия (e2,e1)=(f2+ae1,e1)=0

(f2,e1)+a(e1,e1)=0 Þ

3. Полагаем e3=f3+a1e1+a2e2 числа a1,a2 находим из условий (e3,e2)=(e3,e1)=0 из этих условий: продолжая этот процесс за конечное число шагов получим ортогон систему векторов.

Опр: Базис образующий ортонормированную систему называется ортонормированным

 

Теорема: В произвольном Евклидовым простр-ве сущ ортонормированный базис

Док-во: Возьмем произвольный базис f1,f2,,,fn используя процесс ортоганализ построим из ее ортоган базис e1,e2,,,en. Далее с помощью нормировки строим ортонормир базис e'1’,e2’,,,en’ (ek’=ek/||ek||)

 

Координаты вектора в ортонормир басисе e1,e2,,,en. Пусть x=x1e1+x2e2+,,,+xnen (1) умножая (1) скалярно на ek, k=1,2,,,n получим xk=(xk,ek).

 

Вывод: координаты в ортонормированном базисе равны скалярным произведением вектора х на соответствующий базисный вектор.

 

Лекция 11

 

произведение Скалярное в ортонормированном базисе

Для ортонормированного базиса

 

Отсюда получим формулу

Вывод: в ортонормированном базисе скалярное произведение равно сумме попарных произведений координат. Для нормы вектора имеем простую формулу:

;

Скалярное произведение в произвольном базисе

Выражение для скалярного произведения в ортонормированном базисе дается формулой

ОПР.Матрицей Грамма в системе векторов называется матрица Г=с элементами

Г= ;

Ф-ла для скалярного произведения можно записать в виде

Определитель Грама.

ОПР.Определителем Грама G в системе векторов наз. Определитель матрицы Грама

G=det Г

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Нер-во Коши-Буняковского | ДОКАЖЕМ ДОСТАТОЧНОСТЬ

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 651; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.