Необходимый признак сходимости рядя

Теорема (необходимый признак сходимости): Если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулюпри , тоесть

(10.2)

Пусть ряд сходится. Это значит, что и (на

сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа членов). Рассматривая разность этих пределов, видим, что или , но , значит . Этот результат следует из

условия, что ряд сходится.

Следствие: Если условие (10.2) не выполняется, то ряд расходится

Пример 10.4. Может ли сходиться ряд ?

Решение, Проверим, выполняется ли условие (10.2). Найдем . Значит, ряд расходится.

Подчеркнем, что условие (10.2) является лишь необходимым, но не достаточным условием сходимости. Есть ряды, для которых это условие выполняется, но ряды расходятся. Таковым является, например,

гармонический ряд .И хотя , этот ряд расходится. Покажем, что гармонический ряд расходится. Для чего запишем его таким образом

и составим вспомогательный ряд, заменив все предшествующие дроби, стоящие в скобках, на последнюю в каждой скобке дробь, чтобы всеих

суммы были равны

Так как , то вспомогательный ряд не может сходиться, он

расходится. Но члены гармонического ряда не меньше соответствующих типов вспомогательного расходящегося ряда, значит, для него тем более и потому гармонический ряд расходится. Любопытно отметить, что возрастают очень медленно, подсчитано, что . Этот результат для нас важен потому, что мы многие ряды можем сравнивать с гармоническим, о чем скажем дальше.

Дата добавления: 2014-01-04