Метод итераций

ЛЕКЦИЯ 4

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

(1)

Если все диагональные элементы , то систему (1) можно представить в приведенном виде

(2)

где

Введем обозначения

Тогда система (2) запишется в виде

(3)

В качестве начального приближения возьмем вектор b и подставим его в уравнение (3). Получим .Продолжая процесс, получим последовательности приближений:

- первое приближение

-второе приближение (4)

.........

- (k+1)-ое приближение.

Если существует предел x последовательности векторов то, переходя к пределу в равенстве при , убеждаемся, что x является решением уравнения (3), т.е.

Достаточное условие сходимости итерационного процесса:

Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: , то уравнение (3) имеет единственное решение x, к которому стремится последовательность итераций (4) при любом выборе начального приближения.

Под нормой матрицы понимают следующие выражения:

(m – норма - максимальное значение суммы модулей элементов строки)

(l – норма - максимальное значение суммы модулей элементов столбца)

(k - норма)

Пример: для матрицы

В расчетах полагают . Погрешности приближенного решения уравнения (3) на k-м шаге оценивают неравенством

, (5)

где - норма вектора X

m-норма или кубическая норма

l-норма или октаэдрическая норма

k-норма или сферическая норма.

Из неравенства (5) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности e.

Отклонение приближения от решения x по норме не будет превышать e, если

(6)

Для вывода (6) достаточно рассмотреть равенства:

; ; ;

;

; и т.д.

Далее .

И, учитывая, что , т.к. норма .

В неравенствах (5) и (6) используются согласованные нормы для матриц и векторов, т.е. m и l-нормы.

Неравенство (6) дает завышенную оценку числа итераций k. Из (6) можно получить удобное условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью e.

(7)

Пример: Найти решение системы уравнений

методом итераций с точностью 10^-2.

Решение: Приведем систему к виду (2)

Запишем последовательность итераций

(8)

Для приведенной матрицы достаточное условие сходимости выполняется по m-норме:

В качестве начального приближения возьмем вектор-столбец свободных членов приведенной системы .

Число итераций для достижения заданной точности определяем из неравенства (6) , которое запишем так:

, действительно: .

; т.к. то ; .

Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (8) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (6) в виде:

.

Первое приближение:

Следовательно, дает значение корня ξ с погрешностью, не превышающей величины .

Далее последовательно находим:

;

.

Третья итерация:

;

.

Заданная точность достигается за 5 шагов. Точное решение .

Дата добавления: 2014-01-04