Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


ЛЕКЦИЯ №5

План

1. Непрерывность функции

2. Понятие производной

3. Таблица основных формул дифференцирования

4. Правила дифференцирования

5. Дифференциал

6. Производные высших порядков

7. Возрастание и убывание функции

1. Непрерывность функции

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что ее графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая переменная приближается к точке , то значение функции неограниченно приближается к значению функции в точке (рис. 5.1).

Дадим строгое определение непрерывности функции.

Определение 5.1. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ; 2) существует предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.

Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке справа и слева. Пусть функция определена в точке . Если , то говорят, что функция непрерывна в точке справа. Если , то функция непрерывна в точке слева.

Введем теперь понятие точки разрыва.


Определение 5.2. Точка называется точкой разрыва функции , если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при функция разрывная. Это может произойти, если в точке функция не определена, или не существует предел функции при , или, наконец, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке : .

Точки разрыва бывают двух типов.

Определение 5.3. Точка разрыва функции называется точкой разрыва I рода, если существуют оба односторонних предела и .

Определение 5.4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из двух пределов или стремится к бесконечности.

Пример 5.1. Рассмотрим функцию:



(5.1)

Даная функция имеет в точке разрыв первого рода, поскольку для нее существуют пределы при и справа и слева:

(5.2)

(5.3)

Пример 5.2. Рассмотрим следующую функцию:

(5.4)

Данная функция имеет в точке разрыв второго рода, поскольку для нее не существуют конечные пределы при ни слева, ни справа:

(5.5)

(5.6)

На рис. 5.2 представлены графики двух функций, которые были рассмотрены в примерах 5.1 и 5.2 .

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Способы вычисления пределов | Понятие производной

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 241; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.