Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие производной


Пусть дана функция . Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное и новое . Разность называется приращением аргумента в точке (кратко – приращением аргумента) и обозначается символом .

При этом если изменяется аргумент, то и функция получит некоторое приращение в точке : . Приращение функции в точке кратко обозначается . На рис. 5.3 показаны величины и .

Таким образом, можно записать:

(5.7)

(5.8)

или:

(5.9)

(5.10)

Подставляя в формулу (5.8) выражение (5.9), получим:

(5.11)

Составим отношение:

(5.12)

Определение 5.5. Производной функции называется предел отношения ее приращения к соответствующему приращению независимой переменной, когда :

(5.13)

Для одной и той же функции производную можно вычислить в различных точках .

Наряду с обозначением для производной функции употребляются и другие обозначения: , .

Нахождение производной называется дифференцированием.

Функция , имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно.

Пример 5.3. Используя определение, вычислим производную функции .

=

=

Для того чтобы функция в точке имела производную , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке как правостороннюю , так и левостороннюю производные и чтобы эти производные были равны между собой.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной в этой точке:

(5.14)

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени , т.е.:

(5.15)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ | Правила дифференцирования

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 150; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.