Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний


Биения

Рассмотрим суперпозицию двух гармонических колебаний одинаковой амплитуды и одного направления, частоты которых w1 и w2 отличаются незначительно (w1»w2=w)

, .

Результирующее колебание равно:

.

Используя известные тригонометрические формулы, приведем (1.41) к следующему виду

.

Очевидно, что первый сомножитель гармонически изменяется с частотой w=(w1+w2)/2»w1»w2. Второй множитель осциллирует с малой частотой (w1-w2)/2, а значит, имеет большой период. Таким образом, колебание (1.43) можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой w:

,

амплитуда которого А равна:

.

Амплитуда медленно изменяется во времени – пульсирует.

Характер изменения во времени величины x, порожденной наложением колебаний с отношением частот 8:10 показан на рисунке 1.7.

Изображенное на рисунке постепенное нарастание и уменьшение амплитуды результирующих колебаний и носит название “биения”.

Используя условие периодичности функции x(t)=x(t+T) можно показать, что при рациональном отношении частот колебаний w1:w2=n1:n2, (n1:n2 – целые числа) функция x является периодической с периодом Т равным

.

Рис. 1.7.
(1) - колебания x1 = а cos 10wt, (2) колебание x2 = а cos 8wt, (3) результирующее колебание

Если частоты исходных колебаний не соизмеримы, т. е. их отношение w1:w2 не равно отношению некоторых целых чисел n1 и n2, то результирующее колебание не является периодическим.

Сложение колебаний c рациональным отношением частот, но направленных вдоль взаимно перпендикулярных осей X и Y

экспериментально исследовал А. Лиссажу. Он показал, что точка, участвующая в таких колебаниях, движется по плоским замкнутым траекториям, которые получили, в последствии, название фигурЛиссажу.

Пусть материальная точка участвует в двух колебаниях, определяемых уравнениями (1.46). Найдем уравнение траектории Ф(X,Y)=0 материальной точки на координатной плоскости X,Y. Для упрощения предположим, что частоты колебаний равны, а начальная фаза первого колебания равна нулю (этого можно добиться соответствующим выбором начального момента времени), начальную фазу второго колебания обозначим через j. Уравнения колебаний примут вид:



.

Для нахождения траектории (исключения параметра t) поступим следующим образом: из первого уравнения системы (1.47) выразим coswt,

,

тогда:

.

Представляя cos(wt+j) как косинус суммы двух углов из второго уравнения (1.47) имеем

.

Используя выражения для тригонометрических функций аргумента wt, соотношение (1.48) можно записать следующим образом:

.

Возводя в квадрат и произведя перегруппировку, получим:

.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (1.49) является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно осей координат X и Y. Ориентация осей эллипса и размеры его полуосей достаточно сложно зависят от разности фаз колебаний j=j2-j1=j2.

Частные случаи.

1. Разность фаз исходных колебаний равна нулю (j=0). Уравнение (1.49) принимает вид:

,

т. е. представляет собой полный квадрат, поэтому:

.

Решением полученного уравнения является функция

.

2. Разность фаз колебаний равна ±p. Уравнение (1.49) приводится к виду

.

Аналогично предыдущему случаю получаем:

.

Уравнения (1.50) и (1.51) являются уравнениями прямых, тангенсы наклона которых равны b/a и -b/a, соответственно. Частица движется по соответствующей диагонали прямоугольника ABCD со сторонами a и b (см. рис. 1.8).

а b   Рис. 1.8. a - движение описывается уравнением (1.50), и b - уравнением (1.51)

3. Разность фаз колебаний равна p/2. Уравнение результирующего движения (1.49) принимает вид

,

т. е. представляет собой эллипс, приведенный к координатным осям X и Y, полуоси эллипса равны амплитудам a и b складывающихся колебаний.

    Рис. 1.9. Результат наложения взаимноперпендикулярных колебаний с разностью фаз равной p/2

4. При произвольной разности фаз j колебаний траектория представляет собой эллипс, вписанный в прямоугольник со сторонами 2a и 2b. Траектории, рассмотренные в пунктах 1 и 2 можно рассматривать как эллипсы, вырожденные в отрезок. Если полуоси эллипса (амплитуды складываемых колебаний) равны между собой, то эллипс вырождается в окружность (a=b).

    Рис. 1.10. Результат наложения взаимно перпендикулярных колебаний с произвольной разностью фаз

5. Разность фаз j определяет также направление движения материальной точки по траектории. Уравнения (1.47) в параметрической форме при величине j равной -p/2 могут быть записаны так:

.

После начала движения, т. е. при t>0 величина Х начнет уменьшаться, Y – будучи величиной положительной, будет возрастать. Этим изменениям, как видно из рисунка 1.11а, соответствует движение материальной точки со скоростью V против направления движения часовой стрелки. Если разность фаз j равна p/2, то уравнения (1.47) имеют вид

с началом движения координаты X и Y будут уменьшаться, что указывает на то, что точка движется по эллипсу в направлении движения часовой стрелки (см. рис. 1.11b).

6. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не равны друг другу (wX¹wY), то траектории движущихся точек представляются сложными кривыми. Во всех случаях, когда отношение wX/wY является рациональным числом, траектория точки является замкнутой линией. Вид траектории зависит также от разности фаз исходных колебаний.

  a     b Рис 1.11. К вопросу о направлении движения частицы. Vуказывает направление скоростей частиц, стрелки – составляющие скоростей вдоль осей координат

Если отношение частот колебаний вдоль осей Х и Y (wX:wY) не является рациональным числом, то траектория точки, участвующей в этих колебаниях – незамкнутая линия. С течением времени линия заполняет равномерно всю прямоугольную часть координатной плоскости размером 2a ´ 2b.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Сложение колебанийодного направления | Уравнениеплоской волны

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 256; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.