Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

И потенциала. Поле диполя


Электрического поля. Потенциал. Связь напряженности

Лекция 3. Теорема о циркуляции вектора напряженности

Как известно из курса механики, работа сил центрального поля зависит только от начального и конечного положений частицы. Поэтому работа поля по перемещению частицы вдоль замкнутой траектории равна нулю. Такие поля называются потенциальными.

Рис.11

Вычислим работу сил электростатического поля, совершаемую при перемещении точечного заряда q из точки 1 в точку 2 (рис.11)

, а затем разделим обе части на q.

. (20)

Отношение А/q численно равно работе поля по переносу единичного заряда из точки 1 в точку 2. Интеграл вида (20), вычисленный вдоль замкнутого контура, называется циркуляцией и обозначается .

Теорема о циркуляции вектора Е. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю:=0.

Доказательство. Электростатическое поле точечного заряда является центральным и, следовательно, потенциальным. Поэтому работа его сил на замкнутом пути равна нулю:

,

Таким образом, и циркуляция вектора Е поля точечного заряда равна нулю. Докажем это для поля системы из n зарядов. Так как напряженность Е поля системы равна сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности,

Е = Е1+Е2+Е3+...+Еn.

Умножим это равенство скалярно на вектор перемещения dl вдоль произвольного замкнутого контура и проинтегрируем по этому контуру:

. (21)

Каждый интеграл в правой части равен нулю как циркуляция вектора напряженности поля соответствующего точечного заряда, следовательно, и вся сумма равна нулю. Таким образом, циркуляция вектора напряженности системы точечных зарядов равна нулю.

Переходя к пределу в выражении (21), нетрудно убедиться, что и для непрерывно распределенного заряда циркуляция вектора Еравна нулю.

Потенциал. Из независимости от траектории интеграла следует, что его можно однозначно представить в виде разности значений некоторой функции координат j на нижнем и верхнем пределах

, (22)

или

. (23)

Введенная таким образом функция j(r) называется потенциалом. Разность потенциалов j1-j2 численно равна работе сил поля по переносу единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Из того, что поле способно совершить такую работу, следует, что в точках 1 и 2 заряд обладает различной потенциальной энергией. Поэтому потенциал можно также определить как потенциальную энергию пробного заряда q в поле, отнесенную к его величине

. (24)

Таким образом потенциал определен с точностью до произвольной константы.

Рис.12

Потенциал поля точечного заряда. Поскольку заряд q (рис.12) создает поле с напряженностью Е=qer/4peor2, скалярное произведение в формуле (23) можно преобразовать



,

где k=1/4peo, и учтено, что dl×cosa=dr (так как dr - это проекция перемещения dlна направление радиус-вектора r). Обычно полагают потенциал при r®¥ равным нулю. Тогда const=0 и потенциал поля точечного заряда равен

. (25)

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью r(r), то точечным следует считать заряд dq=rdV. Тогда потенциал представляется интегралом по объему

. (26)

Аналогично, если заряды распределены по поверхности или линии, то интегрируют по поверхности или линии соответственно

.

Единицей измерения потенциала является вольт [B] - потенциал точки, для удаления из которой положительного заряда в 1 Кл на бесконечность электрическое поле совершает работу в 1 Дж.

Связь напряженности и потенциала. Пусть dl- вектор малого перемещения вдоль траектории. Это значит, что радиус-вектор r(x,y,z)получил приращение dl(dx,dy,dz). Тогда скалярное произведение (Е,dl) равно

(Е,dl) = Exdx+ Eydy+ Ezdz.

Кроме того, (Е,dl)=-dj, поэтому Ex=j/x, Ey=-j/y, Ez=-¶j/z. Пусть i, j, k- орты декартовой системы координат.

Тогда

Е = iEx+ jEy+ kEz ,

или

. (27)

Дифференциальную операцию в круглых скобках, примененную к скалярной функции j, называют градиентом этой функции (gradj). Следовательно, связь напряженности и потенциала можно выразить так

Е = - grad j. (28)

Пусть требуется найти El - проекцию вектора Е на направление некоторого вектора l. Так как (Е,dl) = El×dl и (Е,dl)= -dj, то

. (29)

Эквипотенциальные поверхности. Так называются поверхности в пространстве, на которых потенциал имеет постоянное значение. Чтобы показать, что вектор Енаправлен перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, спроектируем его на касательное к этой поверхности направление, характеризуемое вектором l. Поскольку величина потенциала постоянна на эквипотенциальной поверхности, производная ¶j/l равна нулю, а с учетом (29), равна нулю и проекция El. Если в некоторой точке поверхности проекция вектора на любое касательное направление равна нулю, он перпендикулярен этой поверхности. Таким образом, вектор Е перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен с учетом знака в сторону максимальной скорости убывания потенциала.

Потенциал системы зарядов. Запишем выражение напряженности поля системы из n зарядов

Е = Е1+Е2+Е3+...+Еn.

Умножим обе части этого равенства скалярно на dl

(Е,dl) = ((Е1+Е2+Е3+...+Еn), dl) = -dj1 -dj2 -dj3...-djn = -dj.

Проинтегрируем это равенство, учитывая, что в знаменателе выражения (25) стоит расстояние от заряда до точки с радиус-вектором r, где вычисляется потенциал. В данном случае это расстояние равно |ri-r| для каждого из n точечных зарядов. Следовательно, потенциал поля системы зарядов равен

. (30)

Итак, потенциал электростатического поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов, независимо от других. Чтобы получить потенциальную энергию Wп заряда q в поле системы зарядов {qi}, достаточно умножить потенциал j(r) на q

.

Потенциальная энергия измеряется работой поля системы зарядов по переносу заряда q из точки (с радиус-вектором r) на бесконечность.

Поле диполя. Диполь - это система из двух равных разноименных зарядов, расположенных друг от друга на расстоянии l<<r, где r - радиус-вектор некоторой точки Р поля относительно центра диполя (рис.13). Введем вектор дипольного момента р=ql. Потенциал в точке Р вычислим, как алгебраическую сумму потенциалов зарядов диполя

.

Так как l<< r, положим, что r+×r-»r2, а (r+- r-lcosJ. Тогда

. (31)

Рис.13

Вычислим проекции вектора Е на вектор r (Er) и перпендикулярное ему направление (EJ)

.

Поскольку в перпендикулярном к r направлении дифференциально малое приращение координаты равно rdJ, то

.

Модуль вектора напряженности равен

,

что после подстановки sin2J+cos2J =1 дает

. (32)

Напряженность поля диполя убывает обратно пропорционально третьей степени расстояния - быстрее, чем поле точечного заряда. Из формулы (32) легко получить параллельную (J=0) и перпендикулярную оси диполя (J=p/2) составляющие вектора Е

,

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Сферы, шара, цилиндра | Закон Джоуля-Ленца

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 533; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.008 сек.