Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными механическими колебаниями

Колебанияназываются свободными(или собственными),если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Для этих колебаний циклическую частоту обозначим как.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания. За это время фаза колебания получает приращение 2л, т.е. =, откуда

(11.5)

Величина, обратная периоду колебаний,

(11.6)

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (11.5) и (11.6), получим .

Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s (соответственно скорость и ускорение):

, (11.7)

, (11.8)

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (11.7) и (11.8) соответственно равны и . Фаза скорости (11.7) отличается от фазы величины (11.1) на , а фаза ускорения (11.8) отличается от фазы величины (11.1) на л. Следовательно,

– в моменты времени, когда х = 0, v приобретает наибольшие значения;

– когда же х достигает максимального отрицательного значения, то a приобретает наибольшее положительное значение (рис. 11.2).

Рис.11.1

Из выражения (11.8) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(11.9)

Решением этого уравнения являются выражения (11.1), (11.3) или (11.4).

2. Динамика колебательного движения

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается, например, формулой .

В этом случае, как видно из формулы (11.8), при колебательном движении ускорение переменно. Следовательно, движение обусловлено действием переменной силы. Пусть под действием переменной силы материальная точка массой m совершает гармоническое колебание с ускорением а. Тогда, , так как .

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия). Эта сила стремится возвратить точку в положение равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Возвращающей силой может быть, например, сила упругости, так как она тоже пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку. Возвращающие силы могут иметь не только упругую, но и другую природу. В таких случаях они называются квазиупругими силами.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

(11.10)

или (11.11)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

(11.12)

или (11.13)

Сложив (11.11) и (11.13), получим формулу для полной энергии:

(11.14)

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из формул (11.11) и (11.13) следует, что и изменяются с частотой , т.е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания.

На рис. 11.3 представлены графики зависимости х, Е_к =Т и Е_р =II от времени. Так как средние значения <sin²a> = <cos²a> =1/2, то из формул (11.11), (11.13) и (11.14) следует, что средние значения .

Рис.11.3

3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический
и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида

(11.15)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.

1. Пружинный маятник – это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы , где k – коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью.

Уравнение движения маятника или

Из его решения следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой

(11.16)

и периодом

(11.17)

Формула (11.17) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника согласно (11.12) и (11.16) равна .

2. Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела (рис. 11.4).

Рис. 11.4

Пусть физический маятник совершает колебания вокруг неподвижной точки О. Обозначим массу маятника через m, длину маятника ОС, т.е. расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника через . Действуют две силы: сила тяжести , приложенная к центру масс твердого тела С, и сила реакции опоры , приложенная к точке О.

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то он под действием силы тяжести возвращается к положению равновесия, переходит его по инерции, отклоняется в противоположную сторону, затем опять переходит в положение равновесия и т.д. Центр тяжести маятника будет описывать дугу окружности. Возвращающая сила равна (знак минус обусловлен тем, что направления и всегда противоположны). При малых отклонениях ()

В соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать в виде

(11.18)

где – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О.

Таким образом, уравнение движения физического маятника можно записать в виде или

(11.19)

Обозначим (11.20)

Получим уравнение

(11.21)

Оно идентично с (11.15). Следовательно, решение его известно:

(11.22)

Из выражения (11.22) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом

(11.23)

В этой формуле – приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим , т.е. 00' всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если ось подвеса перенести в центр качаний, то точка О прежней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Пусть длина маятника равна . Тогда момент инерции математического маятника есть

(11.24)

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре масс, то, подставив выражение (11.24) в формулу (11.23), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

(11.25)

Сравнивая формулы (11.23) и (11.25), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине математического маятника, то их периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

4. Сложение гармонических колебаний одного направления
и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Рассмотрим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

и (11.26)

Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет .

Подставим в него формулы (11.26), разложим их и введем обозначения

(11.27)

(11.28)

Здесь А и – амплитуда и начальная фаза суммарного колебания. При этих обозначениях уравнение результирующего колебания имеет вид

(11.29)

Из (11.29) видно, что результирующее колебание так же является гармоническим.

Для определения А и решается система, состоящая из уравнений (11.27) и (11.28). Решая их, получим

(11.30)

(11.31)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (11.30) в зависимости от разности фаз :

1) ,

тогда т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) ,

тогда т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны и , причем . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю: и

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе , найдем

(11.32)

Получившееся выражение есть произведение двух колебаний. Так как , то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменится, когда сомножитель совершит несколько полных колебаний. Поэтому результирующее колебание х можно рассматривать как гармоническое с частотой , а амплитуда изменится по следующему периодическому закону:

(11.33)

Частота изменения в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: . Период биений .

Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.

Любые сложные периодические колебания s = f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте

(11.34)

Представление периодической функции в виде (11.34) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье.

Члены ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания.

5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты отсчета начальную фазу первого колебания возьмем равной нулю:

(11.35)

Разность фаз обоих колебаний равна , A и В – амплитуды складываемых колебаний.

Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (11.35) параметра t. Запишем складываемые колебания в виде

После несложных преобразований получим уравнение эллипса:

(11.36)

Оси эллипса ориентированы относительно координатных осей произвольно. Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) . В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

(11.37)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 11.5, а), знак минус – нечетным значениям т (рис. 11.5, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой и амплитудой , совершающимся вдоль прямой (11.37), составляющей с осью х угол

В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями.

2) .Вданном случае уравнение примет вид

(11.38)

Рис.11.5, а	Рис.11.5, б	Рис.11.5, в

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.11.5, в). Кроме того, если А=В, то эллипс (11.38) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярн о поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 11.6 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху).

Рис.11.6

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу – широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

6. Свободные затухающие колебания

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах.

Закон затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы – идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука). Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

, (11.39)

где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, = const – коэффициент затухания, – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (11.39) рассмотрим в виде

(11.40)

где u = u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (11.40) и подстановки их в (11.39) получим

(11.41)

Решение этого уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:

(11.42)

Тогда получим уравнение типа (11.4): .

Решением его является функция .

Таким образом, решение уравнения (11.39) в случае малых затуханий есть

(11.43)

где , (11.44)

– амплитуда затухающих колебаний, – начальная амплитуда.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины. Тогда период затухающих колебаний равен

Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм

(11.45)

– логарифмическим декрементом затухания; N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

(11.46)

(так как затухание невелико (), то Т принято считать равным T₀).

Из формулы (11.46) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N, совершаемых системой за время релаксации.

Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, для механических колебаний. В качестве примера рассмотрим пружинный маятник.

Для пружинного маятника массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е. где – коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

(11.47)

Используя формулу и принимая, что коэффициент затухания

, (11.48)

получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Из предыдущих выражений вытекает, что маятник колеблется по закону

(11.49)

с частотой .

Добротность пружинного маятника .

При увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда . Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

7. Вынужденные колебания

Чтобы в реальной механической колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью периодически действующей вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:

(11.50)

С учетом силы (11.50) закон движения для пружинного маятника запишется в виде .

Используя соответствующие обозначения, придем к уравнению

(11.51)

Решение уравнения (11.51) равно сумме общего решения однородного уравнения (11.47) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (11.51) на комплексную величину :

(11.52)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Найдем производные для : . Подставляя выражение для и его производных в уравнение (11.52), получим

(11.53)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что . Тогда (11.53) имеет вид Найдем отсюда величину x₀ : Оно имеет вид

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме: где

(11.54)

и (11.55)

Следовательно, решение уравнения (11.53) в комплексной форме примет вид:

Его вещественная часть равна

, (11.56)

где и задаются соответственно формулами (11.54) и (11.55).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (11.52) имеет вид

(11.57)

Решение уравнения (11.52) равно сумме общего решения однородного уравнения

(11.58)

и частного решения (11.57). Слагаемое (11.58) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (11.54). Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (11.54) и (11.55), также зависят от .

8. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты .

Из формулы (11.54) следует, что амплитуда А смещения имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту – частоту, при которой амплитуда А смещения достигает максимума, – нужно найти максимум функции (11.54), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв нулю, получим условие, определяющее : .

Это равенство выполняется при и , у которых только лишь положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

(11.59)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте называется механическим резонансом. При значение практически совпадает с собственной частотой колебательной системы. Подставляя (11.59) в формулу (11.54), получим

(11.60)

На рис. 11.7 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях .

Рис.11.7

Из (11.59) и (11.60) вытекает, что чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если , то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению , так называемому статическому отклонению. Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (11.60) вытекает, что при малом затухании () резонансная амплитуда смещения , где Q – добротность колебательной системы, – статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше . На рис. 11.8 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости. Амплитуда скорости максимальна при и равна , т.е. чем больше коэффициент затухания, тем ниже максимум резонансной кривой.

Из выражения следует, что если затухание в системе отсутствует, то только в этом случае колебания и вынуждающая сила имеют одинаковые фазы.

Рис.11.8

Зависимость от при разных коэффициентах представлена на рис.11.9. Отсюда следует, что при изменении изменяется и сдвиг фаз . Из формулы (11.55) вытекает, что при , а при независимо от значения коэффициента затухания , т.е. сила опережает по фазе колебания на р/2. При дальнейшем увеличении щ сдвиг фаз возрастает и при , т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы. Семейство кривых, изображенных на рис. 11.9, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника, используют явление резонанса.

Рис.11.9

9. Автоколебания

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т.д.

10. Распространение колебаний в однородной упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью х. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. фактически только в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

На рис. 11.10 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т.д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное (1 / 4) v T, т.е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнет смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь v T, достигнет частицы 5.

На рис. 11.11 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью х.

Рис.11.11

На рис. 11.10 и 11.11 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными, а волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

Рис.11.12

На рис.11.12 изображена кривая, которая дает смещение x из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции x(х, t) для некоторого фиксированного момента времени 1. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние л, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

λ = v T (11.61)

где v – скорость волны, T – период колебаний. Длину волны можно определить также, как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фазы, равной 2p (см. рис. 11.12).

Заменив в соотношении (11.61) T на 1/ f (f – частота колебаний), получим

λ f = v (11.62 )

К этой же формуле можно прийти другим способом: за одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e колебание, первый «гребень» успеет пройти путь v. Следовательно, f «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине v.

11. Уравнение плоской и сферической бегущей волны.
Фазовая скорость. Волновое уравнение

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат и времени t:

(11.63)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние л, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции x в плоской волне, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: x= x(х, t ). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 11.13), имеют вид .

Рис.11 13

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 этой плоскости, волне требуется время t = x/ х (х – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х = 0, т.е. будут иметь вид .

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

] (11.64)

Величина А представляет собой амплитуду волны.

Из (11.64) следует, что является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (11.64) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то .

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

, (11.65)

где A = const – амплитуда волны, – циклическая частота волны, – начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, – фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

(11.66)

Учитывая его, уравнению (11.65) можно придать вид

(11.67)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (11.67) только знаком члена kx.

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т.е.

(11.68)

Продифференцировав последнее выражение и сократив на , получим , откуда

. (11.69)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (11.65) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

При выводе формулы (11.67) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: , где – амплитуда в точках плоскости х = 0. Соответственно, уравнение плоской волны имеет следующий вид:

(11.70)

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна wt. Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой w (t – r/х) = wt – kr (чтобы пройти путь r, волне требуется время ф = r/ х). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной – она убывает с расстоянием от источника по закону 1 /r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

, (11.71)

где А – постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность А равна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (11.71) нужно добавить множитель e ^–гr.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (11.71) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

Из выражения (11.66) вытекает, что фазовая скорость

(11.72)

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных

, (11.73)

где v – фазовая скорость, – оператор Лапласа.

Решением уравнения (11.73) является уравнение любой волны, в частности, плоской (см. (11.65)) и сферической (см. (11.71)) волн. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид.

12. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье, любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде волнового пакета или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем . Тогда

В этой формуле есть амплитуда. Поэтому образовавшаяся волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t.

За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что , получим

(11.74)

Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Хотя выражение (11.74) получено для волнового пакета из двух составляющих, можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае. Рассмотрим связь между групповой и фазовой скоростями. Получим

(11.75)

Из формулы (11.75) вытекает, что и может быть как меньше, так и больше v в зависимости от знака .

В недиспергирующей среде и групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т.д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость , в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

13. Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна

Дата добавления: 2014-01-04