Действительные работы внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия

Действительным перемещением называется перемещение, вызванное силой по направлению ее действия (рис. 6.2 а). В упругих системах перемещение D прямо пропорционально действующей силе и поэтому выполняется закон Гука

D =d P,

где коэффициент d называется податливостью.

Эту зависимость можно представить в виде диаграммы D –P (рис. 6.2 б).

Рис. 6.2

Действительной работой называется работа силы на ее действительном перемещении.

Действительную работу силы P можно найти по рис. 6.2 б:

W=.

Эта формула определяет теорему Клапейрона: сила, действующая на упругую систему, совершает работу, равную половине произведения силы на перемещение.

Если воспользоваться законом Гука, то

W=³ 0.

Отсюда следует, что внешняя сила совершает положительную работу.

Когда на систему действуют несколько сил, то по принципу суперпозиции

W=.

В идеально-упругой системе предполагается, что работа внешних сил W полностью переходит в потенциальную энергию деформации U:

W =U.

Если убрать внешние силы, упругая система возвратится в исходное положение. Эту работу совершают внутренние силы. Так как работа внешних сил W всегда положительна, то работа внутренних сил V будет отрицательной:

W=–V.

Определим работу внутренних сил плоской стержневой системы.

а) Работа продольной силы N

Пара продольных сил N, действующих на элемент dx, приводят к его чистому растяжению (рис. 6.3 а).

Рис. 6.3

По теореме Клапейрона эти силы на общей деформации элемента (действительном перемещении) D_N совершают действительную работу

–dV_N=N·D_N .

С учетом закона Гука при растяжении D_N= получим

−dV_N=dx,

где E – модуль Юнга, F – площадь сечения, EF – жесткость на растяжение.

б) Работа изгибающего момента М

Пара изгибающих моментов M, действующих на элемент dx, приводят к его чистому изгибу (рис. 6.3 б). На общей деформации D_M эти моменты совершают работу

–dV_M=M·D_M.

По закону Гука D_M=. Поэтому

–dV_M=dx,

где I – момент инерции сечения, EI – жесткость на изгиб.

в) Работа поперечной силы Q

Действие пары поперечных сил Q приводит к чистому сдвигу элемента dx (рис. 6.3 в). На общей деформации D_Q они совершают работу:

–dV_Q=Q·D_Q.

По закону Гука, D_Q=m. Поэтому

–dV_Q=mdx,

где m – коэффициент формы сечения, GF – жесткость на сдвиг.

Теперь воспользуемся принципом суперпозиции:

–dV=–(dV_M+dV_Q+dV_N)=dx.

Если проинтегрировать это выражение по всей длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим выражение потенциальной энергии всей стержневой системы:

U= –V=dx.

Дата добавления: 2014-01-04