Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Некоторые сведения из векторного анализа.





Системы отсчета, системы координат. Тела, примеры тел в механике.

Ответы на тест

 

 

№ вопроса № ответа № вопроса № ответа № вопроса № ответа № вопроса № ответа

 

   
   
   

 



Все явления в окружающем нас мире могут быть описаны только в системах отсчета, посредством которых можно указать место и время события.

Введем тройку не лежащих в одной плоскости (некомпланарных) направленных из точки А отрезков (векторов) называемых отсчетным р пером и заполним пространство точками, положение которых задается векторами

, (1.1)

где вещественные числа называются отсчетными координатами.

 
 
 
 
 
Рис.1.1.Система отсчета

Отсчетный репер (А, с множеством точек (1.1) называется телом отсчета.

Система отсчета – это тело отсчета с прибором для измерения времени (часами) (рис.1.1). Только в системе отсчета могут быть введены основные понятия, в том числе расстояние и направление. В системе отсчета можно ввести сколько угодно систем координат, в том числе и подвижных, но, скажем, ни скорость точки, ни ускорение от системы координат не зависят.

Механика не изучает реальные физические объекты ввиду их неодолимой сложности; она изучает тела - математические модели, наделенные некоторыми общими свойствами реальных объектов.

Основными «кирпичиками», из которых составляются тела, являются материальная точка и твердое тело, которые, собственно, и являются основными объектами изучения в общем курсе теоретической механики.

Материальная точка – наделенная массой тело, для описания положения которого достаточно одного лишь вектора положения. Так, если нас интересует только положение Земли на ее орбите, мы считаем Землю материальной точкой и описываем положение, скажем, ее центра; в то же время при описании движения какой-либо элементарной частицы необходимо учитывать и ее вращение – а это уже, по меньшей мере, модель твердого тела. Как станет ясно из дальнейшего, для твердого тела кроме вектора положения какой-либо его точки необходимо еще тремя координатами (углами) описать его ориентацию.

Кроме того, взаимодействие материальных точек описывается только силами, а твердых тел еще и моментами.

Тела можно разделить на одномерные, двумерные и трехмерные.

Одномерные тела занимают линию в пространстве и могут состоять из материальных точек (нити) и твердых тел-точек (стержни). Двумерные тела занимают поверхность в пространстве и также могут состоять из материальных точек (мембраны) и тел-точек (оболочки).

Трехмерные модели занимают объем .

Некоторые физические величины описываются одним лишь числом - это скалярные величины (масса, температура, объем, энергия); для описания других требуется задать величину и направление – это векторы (скорость, сила). Векторы будут обозначаться подчеркнутыми буквами (например ); та же буква без черты будет обозначать модуль (длину): .

Сразу же заметим, что векторы в виде направленных отрезков идеально подходят для описания перемещения (трансляции) тела в пространстве, а даже такое простейшее движение тела как вращение вокруг неподвижной оси удобно изобразить в виде кругового вектора , полностью описывающего и направление вращения и своей длиной угол поворота.

Круговому вектору сопоставим прямой вектор , который перпендикулярен плоскости кругового, а направление согласовано с выбором ориентации пространства, а именно:

 
 
 
 
Рис. 1.2. Ориентация пространства

 
Пространство называется правоориентированным, если с конца прямого вектора направление кругового видно противчасовой стрелки и левоориентированным, если по часовой стрелке (рис.1.2).

Векторы и тензоры называются полярными, если при изменении ориентации они не изменяются, и аксиальными, если изменяют знак на противоположный. Из вышесказанного ясно, что величины, прямо либо косвенно связанные с перемещениями, являются (скорее всего) полярными, а с вращениями – аксиальными, но это необходимо проверять.

На множестве векторов (в векторном пространстве) вводятся операции с векторами, позволяющие не постулировать (как это принято в математике), а доказать привычные правила коммутативности (перестановочности) операций сложения и умножения, (за исключением операции векторного умножения, для которого ), дистрибутивности (распределительный закон умножения), ассоциативности (сочетательный закон) сложения.

1. Сложение векторов (рис 1.3а)

 
 
 
a)
(
(
 
b)
Рис. 1.3. Сложение и умножение на число

2.Умножение на число: (рис 1.3b)

3.Скалярное произведение: (1.2)

Независимо от выбора базиса модуль вектора вычисляется по формуле

.

С помощью скалярного произведения можно вычислить проекцию вектора на направление вектора : и угол между ними: .

В наиболее часто применяемом ортонормированном базисе , в котором

- символ Кронекера,

.

Здесь применяется правило суммирования по повторяющимся индексам: .

Упражнение. С помощью скалярного умножения доказать теорему косинусов для суммы векторов :

4. Векторное произведение .

Векторное произведение непосредственно связано с ориентацией пространства.

В результате произведения получается вектор , модуль которого равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними:

, а направлен он перпендикулярно сомножителям в ту сторону, откуда кратчайший поворот первого сомножителя ко второму виден

a) против часовой стрелки в правоориентированном пространстве

b) по часовой стрелке в левоориентированном.

Далее по умолчанию будем считать пространство правоориентированным. Отметим геометрический смысл векторного произведения - это вектор, перпендикулярный к сомножителям, длина которого равна площади построенного на них параллелограмма (рис.1.4a)

 
 
 
 
S
a)
 
 
 
S
b)
Рис.1.4. Векторное и смешанное произведения

Из определения векторного произведения следует, что в результате произведения двух полярных или двух аксиальных векторов получается вектор аксиальный, а произведение полярного на аксиальный – полярный вектор.

Векторное произведение не зависит от системы координат, а его координатная форма записи зависит. Так, в ортонормированном базисе векторное произведение формально можно записать в виде определителя

( , (1.3)

где знак (+) для правой тройки базисных векторов, а (-) – для левой.

Тройка векторов называется правой (в правоориентированном пространстве), если с конца третьего вектора ( ) кратчайший поворот от первого ( ко второму ( виден происходящим против часовой стрелки.

В заключение параграфа приведем часто используемые в механике формулы смешанного и двойного векторного произведений.

Смешанное произведение ( имеет простой геометрический смысл. Поскольку , где S – площадь параллелограмма, а – единичный вектор нормали (рис.1.4b), то ( , где -объем параллелепипеда, построенного на векторах ; знак (+) соответствует случаю, когда тройка векторов правая, знак (-) – левая.

. Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке:

( ) (1.4)

В координатном виде смешанное произведение с учетом (1.3) можно записать в виде

( , (1.5)

где, как и в (1.3), знак (+) для правой тройки базисных векторов, а (-) – для левой.

Формула для двойного векторного произведения имеет вид (без доказательства)

) – (формула «бац – цаб») (1.6)

 

Упражнение. Доказать тождество (тождество Лагранжа):

. (1.6a)

Доказательство. Обозначим , внесем его по (1.4) в векторное произведение и воспользуемся тождеством (1.6)

 

 

Полагая, в частности, получим

 

Упражнение.Доказать тождество

(1.6b)

Разумеется, это тождество можно проверить прямым вычислением с помощью (1.5), но можно поступить иначе, познакомившись заодно с понятием взаимного базиса. Обозначим для удобства и разложим произвольный вектор по этому базису: .Чтобы найти, например, координату ,надо умножить векторно на (исчезнет второе слагаемое) и затем скалярно на (исчезнет третье). Получим

, откуда и аналогично ,

где векторы называются векторами взаимного базиса (или кобазиса).

Таким образом,

.

Положим теперь , заменим в правой части с помощью тождества Лагранжа произведения на и умножим последнее равенство скалярно на . Полученное выражение – разложение определителя (1.6b) по третьей строке.

Если основной базис ортонормированный, то взаимный базис совпадает с основным, и только в этом случае координаты вектора совпадают с его проекциями на оси, задаваемые векторами базиса. Независящий от выбора базиса вектор можно разложить как по основному базису , так и по взаимному .

Координаты называются контрвариантными, а ковариантными (они меняются по тому же закону, что и основной базис).

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 192; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.016 сек.