Некоторые сведения из векторного анализа.

Системы отсчета, системы координат. Тела, примеры тел в механике.

Ответы на тест

№ вопроса	№ ответа	№ вопроса	№ ответа	№ вопроса	№ ответа	№ вопроса	№ ответа

Все явления в окружающем нас мире могут быть описаны только в системах отсчета, посредством которых можно указать место и время события.

Введем тройку не лежащих в одной плоскости (некомпланарных) направленных из точки А отрезков (векторов) называемых отсчетным р пером и заполним пространство точками, положение которых задается векторами

, (1.1)

где вещественные числа называются отсчетными координатами.

Рис.1.1.Система отсчета

Отсчетный репер (А, с множеством точек (1.1) называется телом отсчета.

Система отсчета – это тело отсчета с прибором для измерения времени (часами) (рис.1.1). Только в системе отсчета могут быть введены основные понятия, в том числе расстояние и направление. В системе отсчета можно ввести сколько угодно систем координат, в том числе и подвижных, но, скажем, ни скорость точки, ни ускорение от системы координат не зависят.

Механика не изучает реальные физические объекты ввиду их неодолимой сложности; она изучает тела - математические модели, наделенные некоторыми общими свойствами реальных объектов.

Основными «кирпичиками», из которых составляются тела, являются материальная точка и твердое тело, которые, собственно, и являются основными объектами изучения в общем курсе теоретической механики.

Материальная точка – наделенная массой тело, для описания положения которого достаточно одного лишь вектора положения. Так, если нас интересует только положение Земли на ее орбите, мы считаем Землю материальной точкой и описываем положение, скажем, ее центра; в то же время при описании движения какой-либо элементарной частицы необходимо учитывать и ее вращение – а это уже, по меньшей мере, модель твердого тела. Как станет ясно из дальнейшего, для твердого тела кроме вектора положения какой-либо его точки необходимо еще тремя координатами (углами) описать его ориентацию.

Кроме того, взаимодействие материальных точек описывается только силами, а твердых тел еще и моментами.

Тела можно разделить на одномерные, двумерные и трехмерные.

Одномерные тела занимают линию в пространстве и могут состоять из материальных точек (нити) и твердых тел-точек (стержни). Двумерные тела занимают поверхность в пространстве и также могут состоять из материальных точек (мембраны) и тел-точек (оболочки).

Трехмерные модели занимают объем.

Некоторые физические величины описываются одним лишь числом - это скалярные величины (масса, температура, объем, энергия); для описания других требуется задать величину и направление – это векторы (скорость, сила). Векторы будут обозначаться подчеркнутыми буквами (например); та же буква без черты будет обозначать модуль (длину):.

Сразу же заметим, что векторы в виде направленных отрезков идеально подходят для описания перемещения (трансляции) тела в пространстве, а даже такое простейшее движение тела как вращение вокруг неподвижной оси удобно изобразить в виде кругового вектора, полностью описывающего и направление вращения и своей длиной угол поворота.

Круговому вектору сопоставим прямой вектор, который перпендикулярен плоскости кругового, а направление согласовано с выбором ориентации пространства, а именно:

Рис. 1.2. Ориентация пространства

Пространство называется правоориентированным, если с конца прямого вектора направление кругового видно против часовой стрелки и левоориентированным, если по часовой стрелке (рис.1.2).

Векторы и тензоры называются полярными, если при изменении ориентации они не изменяются, и аксиальными, если изменяют знак на противоположный. Из вышесказанного ясно, что величины, прямо либо косвенно связанные с перемещениями, являются (скорее всего) полярными, а с вращениями – аксиальными, но это необходимо проверять.

На множестве векторов (в векторном пространстве) вводятся операции с векторами, позволяющие не постулировать (как это принято в математике), а доказать привычные правила коммутативности (перестановочности) операций сложения и умножения, (за исключением операции векторного умножения, для которого), дистрибутивности (распределительный закон умножения), ассоциативности (сочетательный закон) сложения.

1. Сложение векторов (рис 1.3а)

a)

(

(

b)

Рис. 1.3. Сложение и умножение на число

2.Умножение на число: (рис 1.3b)

3.Скалярное произведение: (1.2)

Независимо от выбора базиса модуль вектора вычисляется по формуле

.

С помощью скалярного произведения можно вычислить проекцию вектора на направление вектора: и угол между ними:.

В наиболее часто применяемом ортонормированном базисе, в котором

- символ Кронекера,

.

Здесь применяется правило суммирования по повторяющимся индексам:.

Упражнение. С помощью скалярного умножения доказать теорему косинусов для суммы векторов:

4. Векторное произведение.

Векторное произведение непосредственно связано с ориентацией пространства.

В результате произведения получается вектор, модуль которого равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними:

, а направлен он перпендикулярно сомножителям в ту сторону, откуда кратчайший поворот первого сомножителя ко второму виден

a) против часовой стрелки в правоориентированном пространстве

b) по часовой стрелке в левоориентированном.

Далее по умолчанию будем считать пространство правоориентированным. Отметим геометрический смысл векторного произведения - это вектор, перпендикулярный к сомножителям, длина которого равна площади построенного на них параллелограмма (рис.1.4a)

S

a)

S

b)

Рис.1.4. Векторное и смешанное произведения

Из определения векторного произведения следует, что в результате произведения двух полярных или двух аксиальных векторов получается вектор аксиальный, а произведение полярного на аксиальный – полярный вектор.

Векторное произведение не зависит от системы координат, а его координатная форма записи зависит. Так, в ортонормированном базисе векторное произведение формально можно записать в виде определителя

(, (1.3)

где знак (+) для правой тройки базисных векторов, а (-) – для левой.

Тройка векторов называется правой (в правоориентированном пространстве), если с конца третьего вектора () кратчайший поворот от первого (ко второму (виден происходящим против часовой стрелки.

В заключение параграфа приведем часто используемые в механике формулы смешанного и двойного векторного произведений.

Смешанное произведение (имеет простой геометрический смысл. Поскольку, где S – площадь параллелограмма, а – единичный вектор нормали (рис.1.4b), то (, где -объем параллелепипеда, построенного на векторах; знак (+) соответствует случаю, когда тройка векторов правая, знак (-) – левая.

. Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке:

() (1.4)

В координатном виде смешанное произведение с учетом (1.3) можно записать в виде

(, (1.5)

где, как и в (1.3), знак (+) для правой тройки базисных векторов, а (-) – для левой.

Формула для двойного векторного произведения имеет вид (без доказательства)

) – (формула «бац – цаб») (1.6)

Упражнение. Доказать тождество (тождество Лагранжа):

. (1.6a)

Доказательство. Обозначим, внесем его по (1.4) в векторное произведение и воспользуемся тождеством (1.6)

Полагая, в частности, получим

Упражнение. Доказать тождество

(1.6b)

Разумеется, это тождество можно проверить прямым вычислением с помощью (1.5), но можно поступить иначе, познакомившись заодно с понятием взаимного базиса. Обозначим для удобства и разложим произвольный вектор по этому базису:.Чтобы найти, например, координату,надо умножить векторно на (исчезнет второе слагаемое) и затем скалярно на (исчезнет третье). Получим

, откуда и аналогично,

где векторы называются векторами взаимного базиса (или кобазиса).

Таким образом,

.

Положим теперь, заменим в правой части с помощью тождества Лагранжа произведения на и умножим последнее равенство скалярно на. Полученное выражение – разложение определителя (1.6b) по третьей строке.

Если основной базис ортонормированный, то взаимный базис совпадает с основным, и только в этом случае координаты вектора совпадают с его проекциями на оси, задаваемые векторами базиса. Независящий от выбора базиса вектор можно разложить как по основному базису, так и по взаимному.

Координаты называются контрвариантными, а ковариантными (они меняются по тому же закону, что и основной базис).

Дата добавления: 2014-01-04