Операции с тензорами второго ранга

Определение тензора второго ранга

Некоторые сведения из тензорного анализа

Рис. 1.5

При описании многих явлений часто встречается ситуация, когда одна векторная величина является функцией другой векторной величины. Так, например, сила, действующая на элементарную площадку в точке А тела зависит от ориентации этой площадки, которая задается вектором нормали, то есть (рис.1.5). Аналогично, вектор плотности тока в анизотропном проводнике не параллелен вектору напряженности электрического поля, а является ее функцией. Установление вида этих функций является задачей механики и физики, но в любом случае приходим к необходимости введения нового понятия – пары векторов.

Простейшим тензором второго ранга является диада – упорядоченная пара векторов, которая записывается единым символом (или); знак () (или отсутствие знака) называется знаком тензорного умножения. Термин «упорядоченная» означает, что.

Тензоры будем обозначать буквами с двойной чертой =.

Далее знак () мы использовать не будем.

На множестве диад вводятся правила:

1. Распределительный закон по отношению к первому и второму векторам:

2.Сочетательный закон по отношению к скалярному множителю:

3. Распределительный закон по отношению к скалярному множителю:

4.Существование нулевой диады:

5. Под суммой двух и более диад будем понимать неупорядоченную совокупность.

Рассматривая сумму двух диад, видим, что она не может быть записана в виде одной диады, за исключением случаев, сводящимся к законам (1)-(3). Аналогично, нельзя свести к одной диаде и сумму б льшего числа диад, то есть правила (1)-(5) выводят нас за пределы множества диад (множество незамкнутое). Нетрудно убедиться, что минимальной неупрощаемой в общем случае совокупностью, к которой может быть приведена сумма любого числа диад, является сумма трех диад. Действительно, сумма четырех, например, диад в силу линейной зависимости в трехмерном пространстве четырех и более векторов записывается в виде суммы трех диад:

Определение: тензором второго ранга называется неупорядоченная сумма любого конечного числа диад.

По поводу этого определения сделаем замечание. Тензор в виде одной диады иногда называют линейным тензором, в виде суммы двух диад – плоским, а виде неупрощаемой суммы трех диад полным [1]. Смысл этих терминов станет понятным ниже.

Заметим, что если тензор входит в определение или доказываемую формулу линейно, то его можно для сокращения записи заменять одной диадой; ниже будем этим иногда пользоваться.

1. Транспонирование и разложение тензора на симметричную и кососимметричную части.

Пусть. Тогда, т.е. для транспонирования надо просто поменять векторы в диадах местами. Если, то тензор называется симметричным, а если, то кососимметричным (или антисимметричным).

Всякий тензор можно разложить на симметричную и кососимметричную части:

.

Первое слагаемое – симметричная часть, второе - кососимметричное.

Дата добавления: 2014-01-04