Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Скалярное и векторное умножение тензора на вектор и тензор. Единичный тензор





Тензорный базис, координаты тензора. Матричный образ тензора.

Будем (для простоты) использовать ортонормированный базис ,которого вполне достаточно для изложения основных понятий в курсе теоретической механики, тем более что все формулы остаются справедливыми и в случае произвольного базиса.

Разложим все векторы в произвольном тензоре по базису: , , подставим в и «приведем подобные». Получим , где набор из девяти диад называется тензорным базисом, а величины - координатами (компонентами) тензора.

Тензору в указанном базисе можно сопоставить матрицу A= .

Подчеркнем, что матричный образ тензора изменяется при изменении системы координат, а, следовательно, и базиса, а сам тензор - нет; в этом и заключается, пожалуй, главное (но не единственное) преимущество тензорного «языка».

Скалярное произведение – самая распространенная операция. Пусть

.

По определению, умножение справа: ) = ,

умножение слева: =

В обоих случаях вектор скалярно умножается на ближайший в каждой диаде вектор, и в результате получается новый вектор; отсюда, по-видимому, следует принятое в математике определение тензора как « линейного оператора, преобразующего векторное пространство само в себя». Впрочем, и это крайне узкое определение имеет смысл. Пусть тензор – одна диада . Тогда при умножении его, например, справа на любой вектор получается – вектор, коллинеарный вектору - отсюда и его название «линейный тензор». Если – сумма двух диад, то при умножении его (например) справа на любой вектор получится вектор , лежащий в плоскости векторов и – отсюда и название «плоский тензор»: все векторы «ложатся» на одну плоскость.

Аналогично умножению на вектор вводится скалярное умножение тензора на тензор. Пусть , . Тогда

( ) - новый тензор.

Правило осталось тем же: скалярно перемножаются ближайшие векторы в диадах.

1.Показать, что и, следовательно, для симметричного тензора а для кососимметричного ( )

2. Показать, что

Пусть тензоры записаны в координатном виде , .

Тогда

, откуда из получаем правило перемножения матриц , которое в линейной алгебре вводится «по определению».

Единичным тензором называется тензор, в результате скалярного произведения на который слева или справа вектора ( или тензора) получается тот же самый вектор (или тензор.)

Разложение вектора по базису имеет вид = ( , где, согласно определению, - единичный тензор.

Обратным к тензору. называется тензор ,являющийся решением уравнения . или, что равносильно, .

Векторное умножение тензора на вектор достаточно показать на одной диаде

- получается новый тензор.

Упражнение. Доказать тождество (1.7)

и, умножив его скалярно на , получить формулу (1.6) двойного векторного произведения.





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 699; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.