Пример 1. Углы Эйлера

Примеры вычисления вектора угловой скорости.

Теорема о сложении угловых скоростей

Теорема. Если тензор поворота является композицией (произведением) поворотов, то, (4.23)

где - угловые скорости, соответствующие тензорам.

Доказательство. Докажем сначала лемму:

Пусть – тензор поворота, – произвольный тензор, тогда

, (4.24)

«векторный инвариант повернутого тензора равен повернутому векторному инварианту».

Доказательство леммы немедленно следует из тождества #3 (1.15)

,в котором достаточно положить

.

Впрочем, лемма имеет простой геометрический смысл. Примем в качестве одну диаду (в лемму тензор входит линейно). Пусть векторы

преобразуются тензором в =, =, =. Поскольку тройка поворачивается как жесткая система, то т.е.)=) или.

Вычисляя теперь тензор спина

+ =

и сопутствующие векторы левой и правой частей с помощью леммы (4.24) получим (4.23).

Упражнени е. Показать, что если,то

Дифференцируя (4.23), получим формулу сложения угловых ускорений

.

Заменив по формуле Пуассона =, будем иметь

= или, заметив, что

= (4.25)

Замечание.

Практически во всех учебниках не дается строгого определения угловой скорости, это понятие остается затененным интуитивными соображениями (кроме случая фиксированной оси поворота, когда). Доказываются «теоремы» о том, что «можно переносить вдоль оси поворота», что угловые скорости можно складывать, если тело вращается вокруг параллельных, либо пересекающихся физических осей, но не рассматривается случай, когда оси не пересекаются и т.д. и т.п.

Теорема сложения угловых скоростей всегда приводится в виде. Очевидно, что под здесь понимается

Рис. 4.9. Углы Эйлера.

Рис. 4.10. Углы Эйлера (волчок)

Традиционно углы Эйлера вводятся следующим образом. Переход из отсчетного положения в актуальное осуществляется тремя поворотами (рис.4.9):

1. Поворот вокруг на угол прецессии При этом переходит в положение

,(в). Этот поворот описывается тензором

2. Поворот вокруг на угол нутации. При этом,.

Этот поворот описывается тензором

3. Поворот вокруг на угол собственного вращения– тензор.

Таким образом, результирующий тензор поворота равен

(4.26)

Для наглядности на рис.4.10 изображен волчок и углы Эйлера, описывающие его ориентацию.

Покажем, что традиционная последовательность поворотов (4.26) может быть заменена на последовательность поворотов на те же самые углы вокруг неподвижных осей:

1. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения

2. Поворот вокруг на угол нутации.

3. Поворот вокруг на угол прецессии

Поскольку, то по теореме (4.19)

,

.

Подставляя эти выражения в (4.26), получим с учетом

. (4.27)

Разумеется, преимущество (4.27) по сравнению с (4.26) в том, что оси поворотов неподвижны.

Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей (4.23) равен

.

Это же (правильное) выражение обычно получают из (4.26), применяя правдоподобные рассуждения о сложении «бесконечно малых» поворотов; применив их к другой последовательности поворотов, например (4.27), получим абсолютно неверный результат.

Из (4.27) видно, что при малом угле нутации, когда тензор поворота

- углы и в линейном приближении становятся неразличимыми и входят в уравнения в виде суммы (+. В этом неудобство углов Эйлера.

Дата добавления: 2014-01-04