Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Пример 1. Углы Эйлера


Примеры вычисления вектора угловой скорости.

Теорема о сложении угловых скоростей

Теорема. Если тензор поворота является композицией (произведением) поворотов , то , (4.23)

где - угловые скорости, соответствующие тензорам .

Доказательство. Докажем сначала лемму:

Пусть – тензор поворота, – произвольный тензор, тогда

, (4.24)

« векторный инвариант повернутого тензора равен повернутому векторному инварианту».

Доказательство леммы немедленно следует из тождества #3 (1.15)

,в котором достаточно положить

.

Впрочем, лемма имеет простой геометрический смысл. Примем в качестве одну диаду ( в лемму тензор входит линейно). Пусть векторы

преобразуются тензором в = , = , = . Поскольку тройка поворачивается как жесткая система, то т.е. )= ) или .

Вычисляя теперь тензор спина

+ =

и сопутствующие векторы левой и правой частей с помощью леммы (4.24) получим (4.23).

Упражнение. Показать, что если ,то

 

Дифференцируя (4.23), получим формулу сложения угловых ускорений

.

Заменив по формуле Пуассона = , будем иметь

= или, заметив, что

= (4.25)

Замечание.

Практически во всех учебниках не дается строгого определения угловой скорости, это понятие остается затененным интуитивными соображениями (кроме случая фиксированной оси поворота, когда ). Доказываются «теоремы» о том, что « можно переносить вдоль оси поворота», что угловые скорости можно складывать, если тело вращается вокруг параллельных, либо пересекающихся физических осей, но не рассматривается случай, когда оси не пересекаются и т.д. и т.п.

Теорема сложения угловых скоростей всегда приводится в виде . Очевидно, что под здесь понимается

Рис. 4.9. Углы Эйлера.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 4.10. Углы Эйлера (волчок)
 
 
 

Традиционно углы Эйлера вводятся следующим образом. Переход из отсчетного положения в актуальное осуществляется тремя поворотами (рис.4.9):

1. Поворот вокруг на угол прецессии При этом переходит в положение

,( в ). Этот поворот описывается тензором

2. Поворот вокруг на угол нутации . При этом , .

Этот поворот описывается тензором

3. Поворот вокруг на угол собственного вращения– тензор .

Таким образом, результирующий тензор поворота равен

(4.26)

Для наглядности на рис.4.10 изображен волчок и углы Эйлера, описывающие его ориентацию.

Покажем, что традиционная последовательность поворотов (4.26) может быть заменена на последовательность поворотов на те же самые углы вокруг неподвижных осей:



1. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения

2. Поворот вокруг на угол нутации .

3. Поворот вокруг на угол прецессии

Поскольку , то по теореме (4.19)

,

.

Подставляя эти выражения в (4.26), получим с учетом

. (4.27)

Разумеется, преимущество (4.27) по сравнению с (4.26) в том, что оси поворотов неподвижны.

Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей (4.23) равен

.

Это же (правильное) выражение обычно получают из (4.26), применяя правдоподобные рассуждения о сложении « бесконечно малых» поворотов; применив их к другой последовательности поворотов, например (4.27), получим абсолютно неверный результат .

Из (4.27) видно, что при малом угле нутации , когда тензор поворота

- углы и в линейном приближении становятся неразличимыми и входят в уравнения в виде суммы ( + . В этом неудобство углов Эйлера.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тензор спина, вектор угловой скорости, формула Пуассона | Связь тензора поворота и вектора конечного поворота

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 663; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

  1. I. Затрудненный выброс крови из желудочков (например, стеноз аорты, клапанный стеноз a, pulmonalls и коарктация аорты)
  2. IV. Примеры расчетов потребностей в сырье по индивидуальным и среднегодовым нормам.
  3. LZ-алгоритмы распаковки данных. Пример 13.6
  4. LZ-алгоритмы распаковки данных. Примеры
  5. LZ77-алгоритм распаковки данных. Пример 12.4
  6. Билет№5:Методологические основы менеджмента. Ситуационный, системный и процессный подход к принятию управленческих решений (привести примеры).
  7. В приведенном примере укажите тезис (если тезис явно не выражен, сформулируйте его), определите способ аргументации.
  8. В ст.131 ГК установлены основные положения о примерном перечне вещных прав, подлежащих регистрации, обязательности государственной регистрации и органе, ее осуществляющем.
  9. Виды и примерная структура документов
  10. Вопрос 68. Филогенез опорно-двигательной системы. Онтофилогенетические пороки костной и мышечной систем. Примеры.
  11. Вопрос 70. Филогенез кровеносной системы хордовых животных. Онтофилогенетические пороки развития сердца и кровеносных сосудов. Примеры.
  12. Вопрос 71. Филогенез мочеполовой системы позвоночных. Эволюция нефрона и мочеполовых протоков. Примеры.

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.