Связь тензора поворота и вектора конечного поворота

Пример 4. Движение конуса по конусу

Пример 3. Трехстепенной гироскоп в кардановом подвесе.

Пример 2. Самолетные (корабельные) углы.

Этого недостатка лишены самолетные (корабельные) углы (рис.4.11).

Рис.4.11. Самолетные углы

Переход из отсчетного положения в актуальное можно осуществить тремя поворотами (повернуть самостоятельно!) (рис.4.11):

1. Поворот вокруг на угол рысканья, при этом

2. Поворот вокруг на угол тангажа, при этом

4.Поворот на угол крена вокруг.

Тензор поворота равен (4.28)

Выражение «можно осуществить» неслучайное; нетрудно понять, что возможны и другие варианты, например, повороты вокруг фиксированных осей. Применяя теорему о тензоре поворота с повернутой осью (4.19) из того, что,, будем иметь

=

=.

Таким образом, получили следующую композицию поворотов:

1. Поворот вокруг на угол крена (рискуя сломать крылья)

2. Поворот вокруг на угол тангажа (подъем «носа»)

4. Поворот вокруг на угол рысканья

Тензор поворота и вектор угловой скорости имеют вид

(4.29)

ротор

Рис.4.12. Трехстепенной гироскоп

Карданов подвес имеет три физических оси поворота, поэтому нетрудно догадаться, как тремя поворотами вокруг неподвижных осей перевести ротор гироскопа из отсчетного положения в актуальное.Разумеется, последовательность поворотов может быть любой, но, как мы убедились, повороты вокруг неподвижных осей самые удобные.

,

. (4.30)

Физические оси позволяют правильно найти угловую скорость как сумму угловых скоростей вращений вокруг этих осей в актуальном положении.

D

Рис.4.13. Качение конуса(шестерни)

ψ

α

βα

φ

b

K

A

Z

X

Y

Ориентация подвижного конуса (шестерни) задается двумя углами – углом поворота вокруг неподвижной оси (вектора) и углом вращения вокруг собственной оси, актуальное положение которой задается вектором.

Тензор поворота - повороты вокруг неподвижных осей.

Вектор угловой скорости. (4.31)

Если нет проскальзывания, то длина дуги окружности основания неподвижного конуса равна длине соответствующей дуги подвижного:, откуда и. Векторное произведение угловой скорости на вектор касающихся образующих конусов равно нулю:, следовательно, параллелен (см.рис.4.13).

Впрочем, геометрическому подходу следует предпочесть кинематический. Так, если вращается и нижняя шестерня (конус), то для нахождения угловой скорости проще исходить из равенства скоростей в точке контакта К:

.

Проецируя эту формулу на ось, получим

откуда.

Дифференцируя угловую скорость (4.31), получим угловое ускорение

и с учетом

В каком бы виде ни был записан тензор поворота – через направляющие косинусы или в виде композиции поворотов, угол поворота и ось поворота определяются из выражений для следа и векторного инварианта тензора поворота

След и векторный инвариант равны

. (1)

Рассмотрим композицию поворотов вокруг осей, заданных единичными векторами, угол между которыми равен. Постараемся получить как можно более простые выражения для «суммарного» угла поворота и оси через углы и и оси. Перемножив тензоры и заменив в произведении диадные произведения скалярными и векторными, без труда найдем соответственно и:

,

Эти выражения, приведенные в [3], можно упростить, заменив тригонометрические функции через половинные углы. Так, из выражения для имеем

откуда, опуская элементарные (хотя и громоздкие) выкладки, получим

или

. (2)

Аналогично, выражение для векторного инварианта преобразуется к виду

(3)

Из системы уравнений (2), (3) определяются угол и ось «суммарного» поворота. Заметим, что знак (+) в (2) выбран из тех соображений, что если, например,, то угол должен быть равен другому: и.

Если ввести векторы конечных поворотов Родрига

то уравнение (3) принимает форму правила сложения конечных поворотов [10]

Дата добавления: 2014-01-04