Матричным способом

Система ЛАУ.

Совместная система ЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли.

Формулы Крамера.

Эквивалентные матрицы.

1. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (ЛАУ). РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛАУ

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

(1)

Данная система может быть записана в матричном виде

АХ = В, (2)

где А = есть матрица системы (1), или матрица коэффициентов;

Х = есть матрица-столбец неизвестных; В = есть матрица-

столбец свободных членов.

Если В = 0, то система (1) называется однородной, если же В ≠ 0, то неоднородной.

Решением системы (1) называется всякая совокупность чисел , которая, будучи подставленной в систему, превращает каждое ее уравнение в тождество. Однако не каждая система линейных алгебраических уравнений имеет решение. Если не существует ни одной совокупности значений , удовлетворяющей заданным уравнениям системы, то система (1) называется несовместной. В противном случае, система (1) называется совместной. Совместная система может иметь или единственное решение, или бесконечное множество решений.

Пример 1.

– несовместная система (нет решений).

Пример 2.

– совместная система, имеющая единственное решение: .

Пример 3.

–совместная система, имеющая бесконечное множество решений: .

Рассмотрим матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть в системе (1) m=n и det A ≠ 0 (матрица невырожденная). Следовательно, существует обратная матрица . Умножим обе части равенства (2) слева на : АХ = В ЕХ = В, отсюда

Х = В. (3)

Формула (3) является матричной записью решения системы линейных алгебраических уравнений. Так как обратная матрица единственная, то система (1) (или, что то же самое, система (2)) имеет единственное решение.

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Решение.

1. Запишем основную матрицу системы: А=.

2. Найдем определитель матрицы А:

detA = =3ּ+(–1)ּ= 3ּ(4+1)+(–8–2)=5.

Так как detA=5≠0, то существует обратная матрица , и, следовательно, исходная система имеет единственное решение Х=В.

3. Найдем обратную матрицу :

– составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А

==;

транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу

;

найдем обратную матрицу

==.

4. Найдем решение исходной системы, учитывая, что В = :

Х = = В = ּ = = .

Ответ:

Дата добавления: 2013-12-11