Производные и дифференциалы высших порядков

Инвариантность формы дифференциала.

Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x, y), где x = x(u,v), y = y(u,v), через дифференциалы переменных u и v:

(2.12)

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у, то есть является инвариантной (неизменной).

Лекция 3.

Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

Определение 3.1. Функция у от х, определяемая уравнением

F (x, y) = 0, (3.1)

называется неявной функцией.

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х. Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х: для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:

1) функция F (x,y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х₀, у₀);

2) F (x₀, y₀) = 0;

3) при постоянном х F (x,y) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у.

Тогда

а) в некоторой окрестности точки (х₀, у₀) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х: y = f(x);

б) при х = х₀ эта функция принимает значение у₀: f (x₀) = y₀ ;

в) функция f (x) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x) по х.

Теорема 3.2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением (3.1), где функция F (x,y) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.1), причем в этой точке . Тогда функция у от х имеет производную

(3.2)

Доказательство.

Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у. Зададим х приращение Δ х, тогда функция y = f (x) получит приращение Δ у. При этом F (x,y) = 0, F (x+ Δx, y+Δy) = 0, поэтому F (x+ Δx, y+Δy) – F (x,y) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (x,y), которое можно представить в виде (2.2):

.

Разделив обе части полученного равенства на Δ х, выразим из него : .

В пределе при , учитывая, что и , получим: . Теорема доказана.

Пример. Найдем , если . Найдем , .

Тогда из формулы (3.2) получаем: .

Частные производные функции z = f (x,y) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у. Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:

Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:

Определение 3.2. Частной производной n -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например, ). Докажем это утверждение.

Теорема 3.3. Если функция z = f (x,y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

(3.3)

Доказательство.

Рассмотрим выражение и введем вспомогательную функцию . Тогда

. Из условия теоремы следует, что дифференцируема на отрезке [ x, x+ Δ x ], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа: где

[ x, x+ Δ x ]. Но Так как в окрестности точки М определена , дифференцируема на отрезке [ y, y + Δ y ], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа: , где Тогда

Изменим порядок слагаемых в выражении для А:

и введем другую вспомогательную функцию , тогда Проведя те же преобразования, что и для , получим, что где . Следовательно,

. В силу непрерывности и . Поэтому, переходя к пределу при получаем, что , что и требовалось доказать.

Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.

Дифференциалы высших порядков.

Определение 3.2. Дифференциалом второго порядка функции u = f (x, y, z) называется

Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:

Определение 3.3. Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d ^k u = d (d ^{k- 1} u).

Свойства дифференциалов высших порядков.

1. k -й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k -го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):

.

1. Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.

Лекция 4.

Дата добавления: 2013-12-12