Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр) равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(5.3)

где - угол между векторами . Обозначают скалярное произведение как .

Т.к. , то скалярное произведение можно вычислить по формуле

или (5.4)

Физический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения. .

1) (коммутативность).

Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел;

2) (дистрибутивность).

Для доказательства этого свойства воспользуемся линейным свойством проекции и формулой, связывающей скалярное произведение и проекцию. Поскольку и , тогда

= ;

2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора:

(5.5)

Выполняется для любого вектора , следует из определения, поскольку угол между вектором и равен нулю, тогда ;

4) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения

где - произвольное действительное число.

Доказывается по аналогии со свойством 2. Поскольку и , тогда ;

5) Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

(5.6)

Доказательство. Докажем, что если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Действительно, если и ортогональны, следовательно, - угол между векторами равен , тогда , тогда из определения следует, что .

Докажем теперь, что если скалярное произведение векторов равно нулю, то они ортогональны. Пусть оба вектора ненулевые, (т.к. в противоположном случае доказательство тривиально, поскольку нулевой вектор не имеет определенного направления и его можно считать ортогональным любому вектору). Тогда и , поэтому только в том случае, если , т.е. векторы должны быть ортогональны.

6) векторы ортонормированного базиса декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют соотношениям:

, т.к. векторы попарно ортогональны .

Если базисные векторы ортогональны, то для каждого вектора координаты в данном базисе будут равны: , поскольку – ортонормированный базис, тогда .

Геометрический смысл скалярного произведения: с помощью скалярного произведения можно вычислить проекцию вектора на вектор , и косинус угла между векторами:

(5.7)

(5.8)

Теорема. Если базис ортонормированный и , , то

(5.9)

где – координаты векторов в ортонормированном базисе.

Доказательство. Поскольку и , тогда найдем скалярное произведение векторов используя свойства дистрибутивности и ассоциативности:

=

=

.

Следствие. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является условие .

Следствие. Длина (модуль) вектора равна .

Следствие. , где - угол между векторами .

Следствие. Если , тогда:

.

Дата добавления: 2013-12-11