Вычисление объема тела

а) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела V при известной площади S сечений этого тела относительно плоскости, перпендикулярной некоторой оси, например, ох; . Применим метод 2.

Через произвольную точку проведем плоскость , перпендикулярную оси ох. Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью. считаем известной и изменяющейся непрерывно при изменении . Через обозначим объем части тела, лежащие левее плоскости . Будем считать, что на отрезке величина есть функция от , т.е. . Теперь найдем дифференциал функции . Он представляет собой слой тела, заключенного между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках и , который можно приближено принять за цилиндр с основанием и высотой (рис.1). поэтому дифференциал объема . Тогда для нахождения полного объема это соотношение надо проинтегрировать в пределах от до .

- полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример: Найти объем эллипсоида . Если эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной плоскости и на расстоянии от нее получим эллипс (см. рис. 2).

.

Площадь этого эллипса равна . Поэтому объем эллипсоида

б) Объем тела вращения

Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми и . Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела - плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку, есть круг радиуса . Следовательно, . Поскольку - выражение для объема тела вращения вокруг оси . Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми при условии , то для объема тела, образованного вращением этой трапеции относительно оси , по аналогии с полученным выше можно записать:

в) Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластина), ограниченная кривой и прямыми (рис. 2). Будем считать, что плотность пластины есть величина . Тогда масса всей пластины , т.е. Выделим элементарный участок пластины в виде бесконечно малой узкой вертикальной полосы и будем считать его прямоугольником. Его масса равна . Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Это точка стоит от оси на расстоянии , а от оси на расстоянии . Тогда для элементарных статистических моментов относительно осей и получим следующие соотношения: и . Отсюда ; . Если обозначим координаты центра тяжести плоской фигуры то получим, что ;, т.е. или и .

Дата добавления: 2013-12-12