Вероятность. Частотное определение

Випадкові величини

Вступ

Література.

Час – 2 год.

Навчальні питання

Лекція 2. Випадкові величини та процеси

Задачі

Задача 1. Какова вероятность получить текст "apple", если источник открытых текстов генерирует независимые, одинаково распределенные 1-граммы, как указано в примере 1.1? Ответьте на тот же вопрос, когда используется Марковская модель из примера 1.3.

Задача 2. Используйте функцию Permutations пакета "Mathematica" и формулу из примера 1.3, чтобы для каждого из 24 упорядочений четырех букв определить вероятность того, что оно появится в языке, порожденном марковской моделью из примера 1.3.

1.... Випадкові величини. 1

2.... Випадкові процеси. 5

1. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей М., 1969 г. 576 стр. с ил.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Радио и связь, 1986 г.

Рассмотрим основные положения теории вероятности о случайных величинах и случайных процессах, которые будут использоваться далее.

Будет использоваться следующая терминология: опыт, исходы опыта и события. Опыт имеет исходы, которые являются элементарными событиями. Из исходов строятся более сложные события. Исход опыта достоверно предсказать нельзя.

Событие (конкретный исход опыта) может произойти или нет, т.е. может наступить один из возможных исходов. Если изучать фиксированные исходы одного и того же опыта или события, то частота их повторения будет примерно одинакова, ее называют вероятностью.

Исходам можно сопоставить числа x = x₁;:::; x_N, каждое из которых случается с вероятностью p(x) = p(x₁);:::; p(x_N), тогда возникает случайная величина X:

, (1)

где – число исходов. Аналогично события A = A₁:::A_M представляются своей вероятностью p(A) = p(A₁);:::; p(A_M):

Вероятность исхода опыта или вероятность события можно измерить, повторяя многократно один и тот же опыт. Однако сама вероятность не зависит от того производился опыт или нет. Существуют методы, которые позволяют определять вероятности событий без повторения опыта. В ряде случаев эти методы интуитивно очевидны.

Принимаются следующие аксиомы:

1) вероятность неотрицательна и не превышает единицы:;

2) если и — несовместимые события, то;

3) сумма всех событий, содержащихся в Ω (полном множестве всех исходов), есть достоверное событие: P(A₁) + P(A₂) +... + P(A_n) +... = 1.

Измерение вероятностей. Математическое понятие вероятности случайного события является абстрактной характеристикой, присущей не самим интересующим нас объектам материального мира, а их теоретико-множественным моделям. Требуется некоторое дополнительное соглашение для того, чтобы можно было извлекать сведения овероятностях из экспериментальных данных.

Общепринято оценивать вероятность события относительной частотой благоприятных исходов. Если проведено N независимых испытаний, причем в n из них наблюдалось событие А, то эмпирическая (выборочная) оценка вероятности Р(А), которую можно получить из этой серии, такова:

Р_эмп(А) = n/N (2)

Обычно полагают, что Р_эмп→P, если число испытаний N→∞

¨ Пример. Пусть в урне находятся 10 шаров красных, зеленых и голубых R, G и B. Из них 5 шаров R, 3 шара G и 2 шара B. Их вытаскивают не глядя. Какова вероятность того, что вынутый шар будет того или иного цвета?

Решение. Опыт имеет 10 исходов. Ясно, что есть 5 шансов из 10 вынуть шар R и т. п. Поэтому вероятность вынуть R, G и B шары соответственно равны 5/10 = 1/2, 3/10, 2/10 = 1/5.ÿ

В рассмотренном примере опыт имеет N исходов, которые равновероятны, поэтому вероятность каждого исхода равна 1/N. Если интересующий исход или событие происходит m раз, то его вероятность, а точнее частота, равна p = m/N. Для кубика с 6 гранями возникает случайная величина X, которая принимает 6 значений x = 1;::: 6, с вероятностью p = 1/6.

Дата добавления: 2013-12-12