Сложение и умножение событий

События представляют собой множество исходов, поэтому над ними, как над множествами, можно совершать операции объединение и пересечение, что соответствует сложению и умножению событий. События бывают

· достоверные и невозможные,

· взаимоисключающие или дополнительные,

· совместные и несовместные.

Вероятность события есть неотрицательное число:

Если p(A) = 1, то событие A называют достоверным. Оно возникает при любом исходе опыта. Так, если в урне лежат только шары R, то вероятность вынуть R шар равна единице. Если p(A) = 0, то событие A невозможное.

Два события A и B взаимоисключающие, если

(3)

Если событие A реализуется в m из N исходах, то взаимоисключающее событие B =`A возникает в N – m исходах. Говорят, что B является дополнением множества A.

¨ Пример. Пусть в урне всего 5 шаров, из них 2 шара R и 3 шара G. События A: "извлечен R шар" и событие B =`A "извлечен G шар" являются взаимоисключающими, p(A)=2/5, p(B)= 3/5 = 1 ‑ p(A). ÿ

События совместные, если могут произойти одновременно. Это означает, что пересечение множеств не пустое. Если не могут произойти вместе, то они несовместные. Соответственно множества не пересекаются.

Суммой двух событий называют событие, которое состоит в том, что случилось событие или случились оба сразу. Сумме событий соответствует операция объединения двух множеств. Для нахождения вероятности суммы событий нужно различать два случая:

1) события A и B несовместные,

2) события A и B совместные.

Для несовместных событий

(4)

Если A и B события совместные, это означает, что иногда они происходят вместе. Тогда

(5)

где произведение событий AB означает событие, в котором A и B возникают вместе. Формулу можно пояснить, используя частотное представление вероятности. Пусть q раз из N происходят оба события AB, пусть A случилось в m_A ‑ q случаев из N, а B в m_B ‑ q случаях из N. Тогда A + B случается в (m_A ‑ q) + (m_B – q) + q раз из N, или m_A + m_B ‑ q раз.

¨ Пример. В урне находится 6 шаров, из них 2 шара R, 3 шара G и 1 шар B. Рассмотрим событие A_X "извлекли X = R,G,B шар". События A_R, A_G, A_B неcовместные и взаимоисключающие, поэтому p(A_R) + p(A_G) + p(A_B) = 2/6 + 3/6 + 1/6 = 1: Попарные события типа A_R, A_G несовместные, но не являются взаимоисключающими, поэтому p(A_R) + p(A_G) = 2/6 + 3/6. ÿ

Если события A и B независимы, то

(6)

Независимость событий означает, что исходы одного не влияют на исходы другого.

¨ Пример. В колоде 52 карты. Одна из четырех мастей козырная, пусть "крести". Какова вероятность того, что взятая наугад карта будет: 1) тузом, 2) козырем, 3) козырным тузом?

Решение. Пусть событие A "выбранная карта – туз". Тогда p(A) = 4/52 = 1/13. Пусть событие B "выбранная карта – козырь". Тогда p(B) = 1/4. В этом случае произведение AB означает, что выбранная карта козырной туз, сумма A + B означает, что выбранная карта либо туз, либо козырь. Поэтому p(AB) = p(A)p(B) = 1/52, p(A + B) = p(A) + p(B) ‑ p(AB) = 4/13. ÿ

Если X и Y две случайные величины, то всегда, если они независимы, то.

Дата добавления: 2013-12-12