КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства определителей
Свойства определителей Def.Транспонированием матрицы (определителя) называется такое ее преобразование, при котором ее строки становятся столбцами с теми же норами. Для матрицы А транспонированная матрица обозначается . Если , то (3.1) Теоремы 3.1 – 3.8 выражают свойства определителей n -го порядка.
Доказательство. Очевидно в результате транспонирования элементы, стоящие в разных строках и столбцах, остаются также в разных строках и столбцах. Пусть в входит слагаемое , тогда это же слагаемое будет входить и в . В ему будет соответствовать подстановка , а в - подстановка . Очевидно обе подстановки имеют одинаковую четность. Значит, и состоят из одних и тех же слагаемых, т.е. равны. Замечание. Теорема 3.1. позволяет сделать вывод о равноправии строк и столбцов в определителе. Поэтому, доказательство остальных свойств будем проводить только для строк.
Доказательство. Пусть в определителе все элементы i -ой строки равны нулю. Очевидно, что в каждое слагаемое определителя будет входить один элемент из i -ой строки, а поскольку они все нулевые, то определитель обращается в нуль.
Доказательство. Пусть дан определитель, в котором поменяли местами i -ю и j -ю строки: (3.2) Пусть – произвольное слагаемое исходного определителя. Ему соответствует подстановка: (3.3) В преобразованный определитель это слагаемое также входит, поскольку все множители остались в различных строках и столбцах, и ему соответствует подстановка:
(3.4) Подстановки (3.3) и (3.4) имеют различную четность, т.к. получаются друг из друга с помощью одной инверсии в верхней строке. Значит, слагаемые вида будут входить в полученный определитель с противоположным знаком, т.е. определитель поменяет знак.
Доказательство. Пусть определитель равен . Поменяем местами две равные строки. С одной стороны, согласно теореме 3.3, его значение станет равным , а с другой стороны не изменится. Имеем , откуда .
Доказательство. . Замечание. Теорема 3.5 позволяет выносить из какой-либо строки (столбца) общий множитель за знак определителя.
Доказательство.
Доказательство. .
Доказательство. Прибавим к i -й строке j -ю строку, умноженную на число k. Получим:
Def. Матрица, у которой все элементы, стоящие под (над) главной диагональю равны 0 называют верхней треугольной (нижней треугольной) матрицей.
Доказательство.
Докажем, что . (3.5) Очевидно, что произведение будет одним из слагаемых определителя, взятым со знаком «+», т.к. соответствующая ему подстановка – четная. Пусть – произвольное слагаемое определителя, не равное 0. Тогда (поскольку элементы, у которых , расположены ниже главной диагонали, т.е. равны 0). Но . Значит, . Таким образом, определитель содержит лишь одно ненулевое слагаемое . Следствие. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е. . (3.6)
Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 810; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |