Геометрическая интерпретация комплексных чисел

В основе геометрической интерпретации поля комплексных чисел лежит возможность поставить каждому комплексному числу поставить в соответствие точку плоскости с координатами . Между элементами поля С и точками плоскости с выбранной декартовой системой координат можно установить взаимно-однозначное соответствие. При этом действительные числа изображаются точками оси Ох, а чисто мнимые – точками оси Оу. Поэтому ось Ох называется действительной осью, а ось Оу – мнимой осью. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Таким образом, через z обозначают как комплексное число, так и точку плоскости, которая изображает это число.

Комплексное число рассматривают радиус-вектор точки z комплексной плоскости.

Заметим, что операции сложения и вычитания комплексных чисел хорошо интерпретируются на комплексной плоскости. Сложение комплексных чисел выполняется по правилу сложения векторов (правилу параллелограмма). Аналогично интерпретируется и операция вычитания (рис. 8.1). Число противоположное , будет точкой комплексной плоскости сим­метричной точке z относительно начала координат. Число сопряженное с числом

Рис. 8.1.

z изображается точкой, симметричной точке z относительно оси Ох.

Заметим, что для комплексных чисел понятия «больше», «меньше» не могут быть определены, т.к. они, в отличие от действительных чисел, расположены не на прямой, точки которой естественным образом упорядочены, а на плоскости.

Th.8.2

Если – комплексные числа, то имеют место соотношения: (8.10) (8.11)

Доказательство.

Неравенство (8.10) вытекает непосредственно из неравенства треугольника (известной из курса элементарной геометрии), ввиду того, что имеем треугольник (рис. 8.1) со сторонами

Поскольку и , то из неравенства (8.10) вытекает неравенство (8.11) .

Дата добавления: 2013-12-12