Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Некоторые из рассмотренных поверхностей второго порядка можно образовать движением одной прямой. Это очевидно для цилиндра и конуса. Оказывается, что однополостной гиперболоид и гиперболический параболоид также являются поверхностями, состоящими из прямолинейных образующих.

Рассмотрим однополостной гиперболоид, заданный своим каноническим уравнением

(18.21)

Перепишем его в виде

или

(18.22)

Рассмотрим прямую

(18.23)

Если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнениям (18.23), то ее координаты очевидно удовлетворяют и (18.22). Значит, соотношение (18.23) задает семейство прямых, лежащих на однополостном гиперболоиде.

Покажем теперь, что через любую точку однополостного гиперболоида проходит некоторая прямая семейства (18.23). Пусть точка принадлежит однополостному гиперболоиду, тогда

(18.24)

Выберем и так, чтобы

(18.25)

Докажем, что т.е. что точка принадлежащая однополостному гиперболоиду, принадлежит также прямой, определяемой уравнениями (18.23). Пусть

(18.26)

Из (18.25) и (18.26) следует, что что противоречит соотношению (18.23).

Def. Прямые (18.22) называют прямолинейными образующими однополостного гиперболоида (рис. 18.11).

Рассмотрим теперь гиперболический параболоид, заданный своим каноническим уравнением

Переписав это уравнение в виде заметим, что любая прямая, определяемая уравнениями (18.27)

Рис. 18.11

или

(18.28)

при любых, не равных одновременно нулю значениях и целиком располагаются на гиперболическом параболоиде (рис. 18.12). Def. Прямые (18.27) и (18.28) называ­ются прямолинейными образующими гиперболического параболоида.	Рис. 18.12
	Идея использования линейчатого характера однополостного гиперболоида в строительной технике принадлежит русскому инженеру В.Г. Шухову (1853—1939). Роль прямолинейных образующих играют железобетонные или металлические балки. Такие конструкции оказались легкими и прочными, поскольку каждая образующая в нескольких местах соединена с другими образующими. В 1920-1922 гг. в

г. Москва по проекту В. Г. Шухова была построена радиовышка на Шаболовке высотой около 150 м. Башня получила признание как одно из самых красивых и выдающихся достижений инженерной мысли в мире.

Дата добавления: 2013-12-12