Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы

Точность получения элементов обратной матрицы естественно оценивается соотношением

А ^–1× А = А ⁰ = Е.

Однако в общем случае элементы обратной матрицы получаются с некоторой погрешностью, которая появляется в результате округлений в процессе вычисления и большого числа арифметических операций. Для уменьшения погрешностей используется итерационная схема уточнения элементов обратной матрицы.

Пусть для неособенной матрицы А получено приближенное значение элементов матрицы А ^–1. Обозначим ее через D ₀» A ^–1. Тогда для уточнения элементов обратной матрицы строится следующий итерационный процесс:

F_{k –1} = E – AD_{k –1}, k =1,2,3…; (*)

D_k = D_{k –1}(E + F_{k –1}); k = 1,2,3… (**)

Доказано, что итерации сходятся, если начальная матрица D ₀ достаточно близка к искомой А ^–1.

В данной итерационной схеме матрица F на каждом шаге как бы оценивает близость матрицы D к А ^–1.

Схема работает следующим образом.

Сначала по (*) при k = 1 находится F ₀ = E – AD ₀, затем находится произведение D ₀ F ₀.

По итерации (**) при k = 1 находится D ₁= D ₀ + D ₀ F ₀.

Чтобы проверить, достигнута ли желаемая точность, вычисляется AD ₁, а по (*) при k = 2, вычисляется F ₁ = E – AD ₁ и, если наибольший элемент матрицы F ₁ < e, итерации прекращаются и A^–1» D ₁.

Дата добавления: 2013-12-11