Доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратического отклонения нормального распределения

Пусть случайная величина x распределена по нормальному закону, для которого дисперсия D x неизвестна. Делается выборка объема n. Определяется исправленная выборочная дисперсия s ². Из теории известно, что границами доверительного интервала дисперсии являются

θ ₁ = , θ ₂ = , где c ₁² и c ₂² определяются по таблице распределения c ² с (n – 1) степенями свободы как решения уравнений

P (c ² ≥ c ₁²) = и P (c ² ≥ c ₂²) = .

Отсюда легко получить формулу, по которой находится доверительный интервал для стандартного отклонения σ x:

P (< σ _x < ) = .

Задача 3. Будем считать, что шум в кабинах вертолетов одного и того же типа при работающих в определенном режиме двигателях — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Случайным образом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5 децибела. Найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума в кабинах вертолетов с надежностью 98%.

Решение. По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности (1 – 0,98)/2 =0,01 находим из таблицы распределения c ²величину c ₂² = 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,98)/2 = 0,99 получаем c ₁² = 7,63. Выпишем искомый доверительный интервал: (3,4; 7,5).

Дата добавления: 2013-12-13