Поток событий. Распределение Пуассона

Лекция 57. Виды распределений дискретных случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределения. Простейший поток событий.

Биномиальное распределение.

Пусть – число появлений некоторого события в повторных испытаниях, где и – вероятности появления и непоявления этого события в одном испытании. Очевидно, что – дискретная случайная величина, у которой (; ; ; ) – возможные значения, а вероятности (;; ; ) этих значений найдутся по формуле Бернулли:

(1)

Закон распределения

						(2)

такой случайной величины называется биномиальным.

Докажем, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по биномиальному закону, могут быть найдены по следующим простым формулам:

(3)

Для этого представим величину в виде суммы

(4)

Здесь – это число появлений события в отдельно взятом -ом испытании . Закон распределения случайной величины при любом номере будет, очевидно, иметь вид:

			(5)

Тогда

(6)

Случайные величины (; …) по смыслу своему независимы друг от друга. Поэтому, опираясь на формулы и , получим:

(7)

Доказательство закончено.

Пример 1. Составить закон распределения случайной величины – числа выпадений герба при трех бросаниях монеты. Найти

Решение. Так как случайная величина представляет собой число появлений события (выпадения герба) при трех повторных испытаниях (при трех бросаниях монеты), то она имеет биномиальный закон распределения:

Вероятности () найдем по формуле Бернулли при и :

Таким образом, для данной биномиально распределенной случайной величины получаем следующий закон распределения:

Ее числовые характеристики найдем с помощью доказанных выше формул (3):

Распределение Пуассона используется в задачах, связанных с потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примерами потоков событий являются: поток звонков на телефонную станцию, в милицию или на станцию скорой помощи; поток заявок в системе массового обслуживания; поток автомобильных аварий на дорогах города и т.д. Поток событий называется простейшим, или пуассоновским, если он характеризуется следующими свойствами:

1) Свойство стационарности. Вероятность появления событий потока за промежуток времени длительностью зависит лишь от величины и длительности времени, а не от начала отсчета времени.

2) Свойство ординарности. Вероятность появления двух и более событий за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления за это время только одного события.

3) Свойство отсутствия последействия. Вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Можно доказать, что вероятность появления событий простейшего потока за время определяется формулой:

(8)

Здесь – интенсивность пуассоновского потока, под которой понимается среднее число событий, появляющихся в единицу времени.

Пусть – число событий простейшего потока, происходящих за заданное время . Очевидно, что – дискретная случайная величина с возможными значениями (0;1;2;… n,…) и вероятностями (), находимыми, согласно (8), по формуле:

где (9)

Распределение указанной дискретной случайной величины

								(10)

называется распределением Пуассона. Его еще называют распределением редких событий. Последнее название связано с тем, что по этой же формуле Пуассона (9), согласно формуле , где , приближенно находятся вероятности появления редкого события k раз в n испытаниях.

Если вычислить числовые характеристики величины , имеющей распределение Пуассона, то получим (выкладки опускаем):

(11)

Пример 2. Среднее число бракованных деталей, изготавливаемых станком-автоматом в течение одного часа, равно 6. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа бракованных деталей, которые будут изготовлены станком-автоматом в ближайшие полчаса. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение. Будем считать поток бракованных деталей простейшим (пуассоновским). Тогда закон распределения рассматриваемой случайной величины будет иметь вид (10). При этом вероятности () находятся по формуле (9) при

То есть

И тогда закон распределения величины примет вид:

А числовые характеристики величины найдутся по формулам (11):

Дата добавления: 2013-12-13