Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства неотрицательных матриц





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Матрица полных затрат

Решение системы (2.3) определяется формулой Данная формула имеет важную экономическую интерпретацию. Разложим правую часть формулы в ряд

(2.7)

Для получения вектора X, обеспечивающего конечный спрос Y, необходимо сначала произвести количество продуктов Y. Для получения конечного продукта Y необходимо затратить количество продукции AY, которое нужно сначала произвести. Следовательно, ВВ включает в себя и вектор AY. При производстве вектора AY возникают дополнительные затраты , и т.д. Поэтому ряд (2.7) называется полными затратами на производство конечного спроса Y, а матрица (E – A)-1 называется матрицей полных затрат.

Изложим эти свойства без доказательства. Всюду в данном разделе буквой А обозначается квадратная матрица с неотрицательными элементами, N— множество, состоящее из первых п натуральных чисел.

Определение. Пусть S ⊆ N, S' = N – S. Говорят, что множество S изолировано, если aij=0, как только i ∈S', j ∈ S. Понятие изолированности множества S допускает экономическую интерпретацию на языке модели Леонтьева. Так, изолированность множества S в модели Леонтьева означает, что отрасли, номера которых принадлежат множеству S, не нуждаются в товарах, производимых отраслями, номера которых принадлежат множеству S'. Если перенумеровать индексы так, чтобы S = {1, 2, ..., k}, S'= {k + 1, ..., n}, что соответствует одновременной перестановке строк и столбцов матрицы A, то матрица А примет вид

(2.8)

где A1 и A3—квадратные подматрицы размеров k × k и (n – k)×(n – k) соответственно.

Матрица А называется неразложимой, если в множестве N нет изолированных подмножеств, т.е. если одновременной перестановкой строк и столбцов ее нельзя привести к виду (2.8). Неразложимость матрицы А в модели Леонтьева означает, что каждая отрасль использует хотя бы косвенно продукцию всех отраслей.

Отметим несколько простых свойств неразложимых матриц.

а) Неразложимая матрица не имеет нулевых строк и столбцов.



б) Если матрица A неразложима и y > 0, то AyT > 0.

в) Пусть y ≥ 0, y ≠ 0; тогда вектор z = (E + A)yT имеет меньше нулевых координат, чем вектор у, если это возможно. Кроме того, если А неразложима x ≥ 0, x ≠ 0, то из неравенства AxT ≤ α x следует, что

α >0, x > 0.

г) Теорема 1. (Фробениус – Перрон о спектральных свойствах неотрицательных матриц).

1. Неразложимая матрица А имеет положительное собственное число λ А такое, что модули всех остальных собственных чисел матрицы А не превосходят λ A.

2. Числу λ A отвечает единственный (с точностью до скалярного множителя} собственный вектор ХA, все координаты которого ненулевые и одного знака (т. е. его можно выбрать положительным). Собственные векторы ХA и pA матриц A и AT соответственно, а также число C будем называть фробениусовыми.

Отметим, что если матрица А неразложима, то λA является единственным собственным числом, для которого существует неотрицательный собственный вектор. Неразложимую матрицу А будем называть устойчивой, если для любого вектора х последовательность Akx,k=1,2,…, сходится. Пример матрицы, не являющейся устойчивой:

Неразложимая матрица А называется циклической, если множество N = {1, 2, ... ..., n} можно так разбить на m непересекающихся подмножеств , что если aij > 0, i ∈ Sr, r ≥ 1, то j ∈ Sr-1, а при i ∈ S0 j ∈ Sm-i. Остальные неразложимые матрицы называются примитивными.

Теорема 2. Примитивная матрица устойчива. Эта теорема устанавливает зависимость свойства матрицы быть устойчивой от ее внешнего вида. Вместе с тем свойство матрицы быть устойчивой полностью определяется и свойствами ее спектра – множеством собственных чисел. Справедливо следующее утверждение.

Неразложимая неотрицательная матрица А устойчива тогда и только тогда, когда выполняется неравенство | λ |< λA для любого ее собственного числа λ ≠ λ А .





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 431; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.