Вычисление значений функций. Вычисление пределов

Глава 3. Применения производной.

Добавление.

8..

Таблица основных разложений по формуле Маклорена.

Маклорена.

Замечание 3.Частный случай формулы Тейлора, когда, принято называть формулой

(Б. Тейлор 1685 − 1731; К. Маклорен 1698 −1746).

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. , где ;

9. ;

10. .

Основные табличные разложения получаются с помощью непосредственного использования формулы Маклорена. Например, если , то , . Поэтому , . И мы видим, что .

Пример 1. Найти значение числа “” с точностью, равной . Как запрограммирован для этой цели калькулятор?

Решение. Можно попытаться использовать доказанную ранее двустороннюю оценку

.

К сожалению, длина интервала и для достижения нужной точности потребовалось бы взять слишком большое значение . Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа дает , где заключено между нулем и . Если взять , то получим , . Так как , а , то можно взять , Поэтому

Пример 2. С помощью правила Лопиталя-Бернулли вычислить .

Решение. Мы имеем здесь возможность несколько раз применить правило Л-Б. Это дает

.

Пример 3. Вычислить тот же предел с помощью формулы Маклорена.

Решение. Запишем формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано для функций и : . Это дает сразу

.

Заметим, что здесь было достаточно воспользоваться формулой Маклорена-Тейлора пятого порядка.

Дата добавления: 2013-12-13