Возрастание, убывание и экстремумы функции

Теорема 1. Для того, чтобы функция была постоянной на интервале необходимо и достаточно, чтобы было на этом интервале.

Доказательство. Необходимость условия уже известна. Пусть теперь на интервале и пусть . По теореме Лагранжа , где . Так как , то . Поэтому на интервале .

Теорема 2. (Признак возрастания и убывания функции). Пусть . В таком случае, если на интервале , то строго возрастает на отрезке . Точно так же, если на интервале , то строго убывает на отрезке .

Доказательство. Пусть известно, что . В таком случае по теореме Лагранжа о конечном приращении, , то для некоторого значения будет . Следовательно, если , то , т.е. строго возрастает на отрезке .

Пример 1. Доказать, что .

Доказательство. Обозначим . Тогда будет ,

. В таком случае строго возрастает в первой четверти, а так как , то . Но тогда и строго возрастает в первой четверти, следовательно . Таким образом, . Ч и т. д.

Вспомним теперь необходимое условие экстремума функции. Примеры и показывают, что необходимое условие экстремума не является достаточным.

Теорема 3. (Достаточное условие экстремума). Пусть в левой полуокрестности точки , в её правой полуокрестности и пусть функция непрерывна в самой этой точке. Тогда − точка строгого максимума . Если же в точке непрерывности функции её производная меняет знак , то − точка строгого минимума .

Доказательство. В первом случае строго возрастает слева от точки , поэтому в левой полуокрестности. А так как строго убывает слева от точки , то . Поэтому − точка строго максимума функции . Второй случай разбирается точно так же.

Теорема 4. (Достаточное условие экстремума, использующее старшие производные). Пусть . Если − четное, то − точка зкстремума функции . Если же − нечетное, то в точке нет экстремума.

Дата добавления: 2013-12-13