Доказательство

По условию теоремы когда . При значениях , близких к числу , знак величины совпадает со знаком производной . Поэтому если четное число, то разность сохраняет свой знак в окрестности точки и, следовательно, имеет в этой точке экстремум. Именно, если , то − точка максимума , если же , то − точка минимума . Пусть теперь − число нечетное. В этом случае разность меняет знак при прохождении через точку , поэтому не является точкой экстремума.

Частный случай. Пусть − стационарная точка функции (то есть ). Тогда, если , − точка максимума , если же , − точка минимума . Для запоминания можно использовать так называемое “правило воды”.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию в точке .

Решение. Имеем:

; ; ;

. Поэтому − точка минимума рассматриваемой функции.

Bbb  

Дата добавления: 2013-12-13