Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти все её критические точки (т.е. точки, где производная этой функции рана нулю или не существует), присоединить к ним концы промежутка, вычислить значения функции во всех отобранных точках и отобрать среди этих значений самое большое и самое маленькое.

Пример. Найти наибольший объём конуса с заданной боковой поверхностью . Чему равен центральный угол его развёртки?

Решение. Обозначим образующую конуса, его высоту, радиус основания и объём, Тогда будет , и . Поэтому можно выразить объём через радиус непосредственно: =, где , .

Для того, чтобы решить поставленную задачу, достаточно найти наибольшее значение функции при условии, что . Так как , то стационарное значение функции равно . Мы видим, что . Поэтому , а . Осталось вычислить центральный угол сектора, представляющего собой развёртку найденного конуса. Так как , то .

Дата добавления: 2013-12-13