Дифференциалы высших порядков

Упражнения

1. С помощью правила Лопиталя найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) 2; д) .

2. С помощью правила Лопиталя доказать второй замечательный предел:

.

3. С помощью правила Лопиталя доказать, что при и любом n

.

Найдя дифференциал dy данной функции , можем затем найти дифференциал от этого дифференциала. Тем самым получим так называемый дифференциал второго порядка данной функции :

.

Итак, если – некоторая дважды дифференцируемая функция, то ее дифференциал второго порядка (дэ два игрек) находится по формуле:

(7)

Отсюда, кстати, получаем:

, где (8)

Тем самым находит свое оправдание обозначение Лейбница (1) для производной второго порядка функции . Аналогично получает оправдание и обозначение (2) для производной третьего порядка, которая выражается через дифференциал (дэ три игрек) третьего порядка

, откуда , (9)

и т.д.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Дифференциал dy функции y (дифференциал первого порядка), как показано выше, имеет инвариантную (неизменную) форму независимо от того, является ли аргумент x функции y независимой переменной или, наоборот, сам является функцией от другой переменной. А вот для дифференциалов высших порядков (, , …) эта инвариантность места не имеет.

Действительно, пусть – сложная функция от t. Тогда, согласно инвариантности формы первого дифференциала dy, имеем:

.

А вот

(10)

Действительно,