Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференциалы высших порядков

Упражнения

1. С помощью правила Лопиталя найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) 2; д) .

2. С помощью правила Лопиталя доказать второй замечательный предел:

.

3. С помощью правила Лопиталя доказать, что при и любом n

.

Найдя дифференциал dy данной функции , можем затем найти дифференциал от этого дифференциала. Тем самым получим так называемый дифференциал второго порядка данной функции :

.

Итак, если – некоторая дважды дифференцируемая функция, то ее дифференциал второго порядка (дэ два игрек) находится по формуле:

(7)

Отсюда, кстати, получаем:

, где (8)

Тем самым находит свое оправдание обозначение Лейбница (1) для производной второго порядка функции . Аналогично получает оправдание и обозначение (2) для производной третьего порядка, которая выражается через дифференциал (дэ три игрек) третьего порядка

, откуда , (9)

и т.д.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Дифференциал dy функции y (дифференциал первого порядка), как показано выше, имеет инвариантную (неизменную) форму независимо от того, является ли аргумент x функции y независимой переменной или, наоборот, сам является функцией от другой переменной. А вот для дифференциалов высших порядков (, , …) эта инвариантность места не имеет.

Действительно, пусть – сложная функция от t. Тогда, согласно инвариантности формы первого дифференциала dy, имеем:

.

А вот

(10)

Действительно,

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Упражнения | Формулы Маклорена и Тейлора

Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 406; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.028 сек.