Асимптоты графиков функций

Определение. Асимптоты графика функции – это такие линии (прямые или кривые), к которым неограниченно приближается указанный график при неограниченном его продолжении.

В частности, на рис. 8 изображен график функции , имеющий три асимптоты: вертикальную прямую , горизонтальную прямую и кривую . При этом, согласно этого рисунка, вертикальная прямая является асимптотой графика функции лишь при (при x, стремящемся к a справа). При (слева) эта прямая асимптотой графика функции не является. Горизонтальная прямая является асимптотой графика функции при . А кривая является асимптотой графика этой функции при .

1. Нахождение вертикальных асимптот.

Рисунок 8 свидетельствует: если прямая – вертикальная асимптота графика функции , то должны выполняться два условия:

1) a – точка разрыва функции ; (1)

2) (+¥ или –¥) или (+¥ или –¥).

И обратно, если выполняются оба условия (1), то прямая – вертикальная асимптота графика функции .

Из сказанного вытекает следующая схема нахождения вертикальных асимптот графика функции :

1) Находим все точки разрыва (а ₁; а ₂; …) функции, то есть те изолированные точки оси ох, в которых функция не определена (ибо там, где элементарная функция определена, там она и непрерывна).

2) Каждую из точек разрыва проверяем на выполнимость второго условия (1).

Пример 5. Найти вертикальные асимптоты графика функции

и сделать геометрическую иллюстрацию полученного результата.

Решение. Данная функция не определена, а следовательно, разрывна лишь в двух точках оси ох: и . Проверим каждую из них на выполнимость второго условия (1):

; .

Второе условие (1) выполняется для точки и не выполняется для точки . Значит, лишь прямая является вертикальной асимптотой графика нашей функции, причем и при , и при . А прямая (ось оу) вертикальной асимптотой графика функции не является. Геометрическая иллюстрация полученных результатов дана на рис. 9.

На этом рисунке представлено лишь то, что выяснено выше: поведение функции y возле ее точек разрыва и . Вдали от этих точек мы эту функцию не исследовали, поэтому ее график не известен (он лишь намечен пунктирной линией).

2. Нахождение наклонных (невертикальных) асимптот.

Рассматривая рис. 8, приходим к очевидному выводу: если некоторая линия L с уравнением является невертикальной асимптотой графика функции при или при , то это значит, что при таком изменении x функция , то есть , а значит

, где при или при . (2)

И обратно, при выполнении (2) функция – асимптота функции . В частности, если

, где при или при , (3)

то соответственно при или при горизонтальная прямая будет асимптотой графика функции .

Пример 6. Найти невертикальные асимптоты графика функции

.

Решение. Для их нахождения нужно выяснить поведение функции y при и при .

а) Если , то очевидно, что

; .

Поэтому при функция . А это значит, что линия L с уравнением является асимптотой графика нашей функции при .

б) Если , то очевидно, что

; .

Поэтому при наша функция . А это значит, что при асимптотой графика нашей функции y является горизонтальная прямая .

Пример 7. Определить все имеющиеся асимптоты графика функции и изобразить поведение этого графика возле его асимптот.

Решение. Начнем с нахождения области определения функции y. Функция определена, а следовательно, и непрерывна для всех x, кроме . То есть – единственная точка разрыва нашей функции. А значит, вертикальная прямая , проходящая через эту точку – единственная возможная вертикальная асимптота графика нашей функции.

Проверим, действительно ли она – вертикальная асимптота. Для этого выясним, в соответствии с (1), поведение функции y при и при :

;

То есть при и при . А это значит, что вертикальная прямая является асимптотой графика функции y, причем и при , и при .

Теперь поищем возможные невертикальные асимптоты. Для этого рассмотрим поведение функции y при и при .

а) Если , то

.

Учтем, что (это устанавливается делением на «в столбик»). То есть

, где , .

И так как при , а при к нулю не стремится, то при наша функция . А это, в соответствии с (2), означает, что линия с уравнением (прямая) является асимптотой графика нашей функции y при .

б) Если , то буквально повторяя (а), приходим к выводу, что прямая является асимптотой графика нашей функции и при .

Теперь изобразим график нашей функции вместе с его асимптотами. Для более качественного построения этого графика найдем еще точки его пересечения с осями координат.

1) С осью ох:

.

2) С осью оу:

.

А теперь строим график (рис. 10).

Дата добавления: 2013-12-13