Кинематика движения материальной точки

Наиболее простым примером механического движения является движение материальной точки. Понятие материальной точки является научной абстракцией. Материальной точкой называется такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче.

Например: рассматривая движение самолета относительно Земли, его можно считать материальной точкой; однако, рассматривая устойчивость и управляемость самолета необходимо учитывать взаимодействие потока воздуха с различными частями самолета, а поэтому нельзя пренебречь их размерами и формой, и, следовательно, нельзя считать самолет материальной точкой.

Для определения положения тела в пространстве в данный момент времени необходимо указать тело отсчета (систему отсчета), которое считаем неподвижным, относительно которой и задается положение тела.

В качестве точки отсчета возьмем точку 0. Положение тела может быть задано радиус-вектором . Если точка движется, то ее положение в пространстве с течением времени меняется, т.е. радиус-вектор является функцией времени:

= (t).

Вектор Δ, проведенный из начального положения 1 в конечное – 2 (D= ₂ – ₁), называется вектором перемещения за время D t = t ₂ – t ₁.

Дуга 1–2 является траекторией движения тела. Траектория – линия, вдоль которой движется тело. Длина траектории – путь (D s).

Очевидно, что D s = D r только при прямолинейном движении в одном направлении.

Для кинематического описания движения тела недостаточно текущего значения радиус-вектора и траектории, которые являются лишь геометрическими характеристиками движения. Одинаковые перемещения могут быть совершены за разные промежутки времени и кинематически будут совершенно различны. Это различие характеризуется различной быстротой изменения положения точки, определяемой отношением вектора перемещения к промежутку времени, в течение которого перемещение произошло

<> = .

Вектор <> называется средней линейной скоростью [1] движения тела (точки) за время D t. Вектор <>, как и вектор , направлен по секущей 1–2.

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени (D t →0), получим вектор мгновенной скорости в момент времени t:

= = .

Вектор направлен по касательной к траектории, т.к. секущая в пределе совпадает с касательной.

Очевидно, что <> = || при равномерном движении тела (точки).

На практике часто необходимо знать среднюю путевую скорость – отношение пути D s, пройденного телом к промежутку времени Δ t, в течение которого этот путь был пройден

<>_s = .

Очевидно, что <>_s = |<>| только при прямолинейном движении в одном направлении.

При движении тела (точки) возможно изменение вектора линейной скорости, как по величине, так и по направлению. Для характеристики изменения скорости вводится понятие – линейное ускорение.

Средним линейным ускорением называется вектор <>, равный отношению вектора D= ₂ – ₁ к промежутку времени D t, в течение которого произошло изменение скорости:

<> = .

Очевидно, что вектор <> совпадает по направлению с вектором изменения скорости D. Вектор Dв общем случае не совпадает по направлению с вектором , и, следовательно, направление вектора ускорения, вообще говоря, не совпадает с направлением вектора скорости.

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени (D t →0), получим вектор мгновенного ускорения тела (точки) в момент времени t:

= =

или с учетом, что скорость есть первая производная радиус-вектора от времени (= ), то

= .

Очевидно, что <> = только при равноускоренном движении.

Таким образом, если известно уравнение изменения радиус-вектора , т.е. уравнение= f (t), можно с точки зрения кинематики полностью описать движение тела, т.е. найти уравнения = f (t), <> = f (t), = f (t), <> = f (t).

Описание движения теля в полярной системе координат не всегда удобно. Зачастую кинематические уравнения движения точки удобнее записывать в декартовой системе координат.

Мгновенное положение точки А в декартовой системе координат в момент времени t задается при помощи трех координат x, y и z.

Перемещение точки в этом случае вдоль оси ОХ: D х = х ₂ – х ₁,

вдоль оси ОY: D y = y ₂ – y ₁,

вдоль оси ОZ: D z = z ₂ – z ₁,

а полное перемещение

D r = .

Компоненты вектора средней линейной скорости по осям координат соответственно равны

< v _x>= , < v _y> = , < v _z> = ,

тогда средняя скорость

< v > =

Компоненты вектора мгновенной скорости по осям координат соответственно равны

v _x = = , v _y = = , v _z = = ,

тогда мгновенная скорость

v = .

Компоненты вектора среднего ускорения по осям координат соответственно равны

< а _x>= , < а _у>= , < а _z>= ,

тогда среднее ускорение

< а > =

Компоненты вектора мгновенного ускорения по осям координат соответственно равны

а _x = =, а _y = = , а _z = = ,

тогда мгновенное ускорение

а =.

Дата добавления: 2013-12-13