Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела

Рассматривая вращательное движение, встает вопрос, можно ли применять законы Ньютона в виде, полученном для поступательного движения?

Для этого необходимо выяснить является ли сила – мерой воздействия, а масса – мерой инертности при вращательном движении твердого тела.

Если воздействовать на тело равными силами , но приложенными в разные точки (на расстоянии r ₁ и r ₂ от оси вращения, соответственно), то, если сила является мерой воздействия, результат воздействия должен быть одинаковым. Однако из эксперимента видно, что он разный. В первом случае угловое ускорение будет больше, чем во втором и, соответственно, угловой путь, пройденный телом за одинаковое время в первом случае больше, чем во втором (j ₁ > j ₂).

Следовательно, сила не является мерой воздействия при вращательном движении. В качестве меры воздействия вводится понятие момента силы.

Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора , проведенному от оси вращения в точку приложения силы , на эту силу, т.е.

= [].

Величина момента силы

М = F r sin a,

где a – угол между векторами и .

Направление вектора момента силы может быть определено по "правилу правого винта”: если при вращении правого винта вектор силы касателен к этому вращению, то поступательное движение винта совпадает по направлению с вектором момента силы .

Рассмотрим движение по наклонной плоскости двух цилиндров одинаковой массы (m ₁ = m ₂), одинаковых геометрических размеров (d ₁ = d ₂, l ₁ = l ₂), с одинаковым материалом поверхности (коэффициенты трения одинаковы, k ₁ = k ₂), т.е. силы, действующие на цилиндры одинаковы, но имеющих разное распределение масс по объему (первый – сплошной, второй – полый). Если масса является мерой инертности тела, то к основанию наклонной плоскости оба цилиндра должны скатиться одновременно. Однако из эксперимента видно, что первый цилиндр скатывается быстрее, чем второй.

Масса не является мерой инертности при вращательном движении а.т.т.

В качестве меры инертности вводится понятие момента инерции.

Момент инерции тела относительно неподвижной оси равен сумме произведений всех материальных точек тела на квадраты их расстояний до оси.

I =

Таким образом, основываясь на законах Ньютона, можно записать законы динамики вращательного движения твердого тела.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Если моменты сил, действующие на тело, не скомпенсированы, то тело будет двигаться с угловым ускорением, величина которого пропорциональна результирующему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции.

Этот закон можно записать в другой форме с учетом, что

= ,

тогда = I =

или d t = = .

Вектор =называется моментом импульса. Эта величина, как и импульс тела при поступательном движении, является важной динамической характеристикой.

Дата добавления: 2013-12-13